Номер 1, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} : \frac{9ab}{14c^2}$

1) $\frac{2a^3}{c^4}$

2) $\frac{2a^2}{c^8}$

3) $\frac{81a^4b^2}{98c^{12}}$

4) $\frac{2a^2b}{c^4}$

1.

Чтобы найти дробь, тождественно равную данному выражению, необходимо упростить его, выполнив все указанные действия с алгебраическими дробями.

Исходное выражение:

$$ \frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} : \frac{9ab}{14c^2} $$

Первым шагом заменим деление на дробь умножением на обратную (перевёрнутую) дробь. Деление на $\frac{9ab}{14c^2}$ эквивалентно умножению на $\frac{14c^2}{9ab}$.

$$ \frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} \cdot \frac{14c^2}{9ab} $$

Теперь объединим всё в одну дробь, перемножив числители и знаменатели соответственно.

$$ \frac{3a^3 \cdot 6b^4 \cdot 14c^2}{2b^3c^3 \cdot 7c^7 \cdot 9ab} $$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени одинаковых переменных, чтобы упростить сокращение.

$$ \frac{(3 \cdot 6 \cdot 14) \cdot (a^3) \cdot (b^4) \cdot (c^2)}{(2 \cdot 7 \cdot 9) \cdot (a) \cdot (b^3 \cdot b) \cdot (c^3 \cdot c^7)} $$

Теперь выполним сокращение дроби. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$$ \frac{3 \cdot 6 \cdot 14}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{252}{126} = 2 $$

Далее сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Для переменной $a$:

$$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $$

Для переменной $b$:

$$ \frac{b^4}{b^3 \cdot b} = \frac{b^4}{b^{3+1}} = \frac{b^4}{b^4} = b^{4-4} = b^0 = 1 $$

Для переменной $c$:

$$ \frac{c^2}{c^3 \cdot c^7} = \frac{c^2}{c^{3+7}} = \frac{c^2}{c^{10}} = c^{2-10} = c^{-8} = \frac{1}{c^8} $$

Соберём все полученные части вместе, чтобы получить итоговый результат.

$$ 2 \cdot a^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^8} = \frac{2a^2}{c^8} $$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2).

Ответ: 2)