Номер 3, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Упростите выражение:

1) $56m^4n^5 \cdot \frac{3n^2}{8m^7};$

2) $\frac{y^2 - 3y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4y - 12};$

3) $\frac{10a}{5a^2 - 45b^2} \cdot (a^2 - 3ab);$

4) $\left(-\frac{3a^2b}{c^4}\right)^3 \cdot \left(\frac{ac^5}{6b^2}\right)^2;$

5) $\frac{16a^6b^7}{c^8} : (24a^4b^9c);$

6) $\frac{m^2 - 8m + 16}{m^2 - 4} : \frac{m^2 - 4m}{5m + 10}.$

1) $56m^4n^5 \cdot \frac{3n^2}{8m^7}$

Чтобы умножить одночлен на дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей:

$\frac{56m^4n^5}{1} \cdot \frac{3n^2}{8m^7} = \frac{56m^4n^5 \cdot 3n^2}{8m^7}$

Сократим числовые коэффициенты 56 и 8. $56 \div 8 = 7$.

$\frac{7m^4n^5 \cdot 3n^2}{m^7}$

Умножим оставшиеся числители: $7 \cdot 3 = 21$ и $n^5 \cdot n^2 = n^{5+2} = n^7$.

$\frac{21m^4n^7}{m^7}$

Сократим степени с основанием $m$: $\frac{m^4}{m^7} = m^{4-7} = m^{-3} = \frac{1}{m^3}$.

$\frac{21n^7}{m^3}$

Ответ: $\frac{21n^7}{m^3}$

2) $\frac{y^2-3y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4y-12}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$y^2-3y = y(y-3)$

$4y-12 = 4(y-3)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{y(y-3)}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4(y-3)}$

Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(y-3)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй.

$\frac{y}{9y^2} \cdot \frac{27y}{4}$

Перемножим дроби:

$\frac{y \cdot 27y}{9y^2 \cdot 4} = \frac{27y^2}{36y^2}$

Сократим $y^2$ и числовые коэффициенты 27 и 36 (общий делитель 9):

$\frac{27}{36} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) $\frac{10a}{5a^2-45b^2} \cdot (a^2-3ab)$

Представим второй множитель в виде дроби и разложим на множители числитель и знаменатель:

$a^2-3ab = a(a-3b)$

$5a^2-45b^2 = 5(a^2-9b^2) = 5(a-3b)(a+3b)$ (использовали формулу разности квадратов)

Подставим в исходное выражение:

$\frac{10a}{5(a-3b)(a+3b)} \cdot \frac{a(a-3b)}{1}$

Перемножим дроби и сократим общие множители:

$\frac{10a \cdot a(a-3b)}{5(a-3b)(a+3b)} = \frac{10a^2(a-3b)}{5(a-3b)(a+3b)}$

Сокращаем $(a-3b)$ и $\frac{10}{5}=2$:

$\frac{2a^2}{a+3b}$

Ответ: $\frac{2a^2}{a+3b}$

4) $(-\frac{3a^2b}{c^4})^3 \cdot (-\frac{ac^5}{6b^2})^2$

Возведем каждую дробь в соответствующую степень:

$(-\frac{3a^2b}{c^4})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{3^3(a^2)^3b^3}{(c^4)^3} = -\frac{27a^6b^3}{c^{12}}$

$(-\frac{ac^5}{6b^2})^2 = (-1)^2 \cdot \frac{a^2(c^5)^2}{6^2(b^2)^2} = \frac{a^2c^{10}}{36b^4}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(-\frac{27a^6b^3}{c^{12}}) \cdot (\frac{a^2c^{10}}{36b^4}) = -\frac{27a^6b^3a^2c^{10}}{c^{12} \cdot 36b^4}$

Сгруппируем и упростим переменные и коэффициенты:

$-\frac{27}{36} \cdot \frac{a^6a^2}{1} \cdot \frac{b^3}{b^4} \cdot \frac{c^{10}}{c^{12}}$

Сокращаем коэффициенты: $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

Упрощаем степени: $a^6a^2 = a^8$, $\frac{b^3}{b^4} = b^{-1} = \frac{1}{b}$, $\frac{c^{10}}{c^{12}} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$.

Собираем все вместе:

$-\frac{3}{4} \cdot a^8 \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c^2} = -\frac{3a^8}{4bc^2}$

Ответ: $-\frac{3a^8}{4bc^2}$

5) $\frac{16a^6b^7}{c^8} : (24a^4b^9c)$

Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$\frac{16a^6b^7}{c^8} \cdot \frac{1}{24a^4b^9c} = \frac{16a^6b^7}{c^8 \cdot 24a^4b^9c}$

Упростим полученную дробь. Сократим коэффициенты: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.

Упростим степени переменных:

$\frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2$

$\frac{b^7}{b^9} = b^{7-9} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$

$\frac{1}{c^8 \cdot c} = \frac{1}{c^{8+1}} = \frac{1}{c^9}$

Собираем все вместе:

$\frac{2a^2}{3b^2c^9}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3b^2c^9}$

6) $\frac{m^2-8m+16}{m^2-4} : \frac{m^2-4m}{5m+10}$

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Сначала разложим на множители все числители и знаменатели.

$m^2-8m+16 = (m-4)^2$ (формула квадрата разности)

$m^2-4 = (m-2)(m+2)$ (формула разности квадратов)

$m^2-4m = m(m-4)$

$5m+10 = 5(m+2)$

Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:

$\frac{(m-4)^2}{(m-2)(m+2)} \cdot \frac{5(m+2)}{m(m-4)}$

Запишем под одной чертой и сократим общие множители:

$\frac{(m-4)^2 \cdot 5(m+2)}{(m-2)(m+2) \cdot m(m-4)}$

Сокращаем $(m+2)$ и одну степень $(m-4)$:

$\frac{5(m-4)}{m(m-2)}$

Ответ: $\frac{5(m-4)}{m(m-2)}$