Номер 1, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} : \frac{8c^2}{15ab^3}$

1) $\frac{ac}{2b}$

2) $\frac{2ac}{b}$

3) $\frac{c}{2b}$

4) $\frac{2c}{b}$

1. Чтобы найти дробь, тождественно равную данному выражению, необходимо его упростить. Выражение представляет собой произведение и частное алгебраических дробей.

Исходное выражение: $ \frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} : \frac{8c^2}{15ab^3} $

Согласно правилу деления дробей, деление на дробь заменяется умножением на дробь, обратную делителю (то есть, "перевернутую" дробь).

$ \frac{10a^2}{3b^4} \cdot \frac{2c^3}{25a^3} \cdot \frac{15ab^3}{8c^2} $

Теперь выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{10a^2 \cdot 2c^3 \cdot 15ab^3}{3b^4 \cdot 25a^3 \cdot 8c^2} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями для удобства сокращения:

$ \frac{10 \cdot 2 \cdot 15}{3 \cdot 25 \cdot 8} \cdot \frac{a^2 \cdot a}{a^3} \cdot \frac{b^3}{b^4} \cdot \frac{c^3}{c^2} $

Упростим каждую часть по отдельности:

• Числовые коэффициенты: $ \frac{10 \cdot 2 \cdot 15}{3 \cdot 25 \cdot 8} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} $

• Степени переменной $a$: $ \frac{a^2 \cdot a}{a^3} = \frac{a^{2+1}}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} = 1 $

• Степени переменной $b$: $ \frac{b^3}{b^4} = b^{3-4} = b^{-1} = \frac{1}{b} $

• Степени переменной $c$: $ \frac{c^3}{c^2} = c^{3-2} = c^1 = c $

Теперь перемножим полученные результаты:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{b} \cdot c = \frac{c}{2b} $

Таким образом, исходное выражение тождественно равно дроби $ \frac{c}{2b} $. Сравнив результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $ \frac{c}{2b} $