Номер 2, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4$

1) $-\frac{4a^{16}}{5b^{24}}$

2) $\frac{4a^{16}}{5b^{24}}$

3) $-\frac{256a^8}{625b^{10}}$

4) $\frac{256a^{16}}{625b^{24}}$

Чтобы найти дробь, тождественно равную выражению $ \left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4 $, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель в числителе и знаменателе дроби. Для этого используются следующие свойства степеней:

• Возведение дроби в степень: $ \left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n} $
• Возведение произведения в степень: $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $
• Возведение степени в степень: $ (A^m)^n = A^{m \cdot n} $

Применим эти правила к исходному выражению:

$ \left(-\frac{4a^4}{5b^6}\right)^4 = \frac{(-4a^4)^4}{(5b^6)^4} = \frac{(-1)^4 \cdot 4^4 \cdot (a^4)^4}{5^4 \cdot (b^6)^4} $

Теперь вычислим значение каждой части выражения:

1. Знак минус: так как степень четная (4), результат будет положительным. $ (-1)^4 = 1 $.

2. Числовые коэффициенты: $ 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256 $ и $ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625 $.

3. Переменные: $ (a^4)^4 = a^{4 \cdot 4} = a^{16} $ и $ (b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24} $.

Собираем все части вместе:

$ \frac{1 \cdot 256 \cdot a^{16}}{625 \cdot b^{24}} = \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) $ -\frac{4a^{16}}{5b^{24}} $: Неверно. Знак отрицательный, а коэффициенты 4 и 5 не возведены в степень.

2) $ \frac{4a^{16}}{5b^{24}} $: Неверно. Коэффициенты 4 и 5 не возведены в степень.

3) $ -\frac{256a^8}{625b^{10}} $: Неверно. Знак отрицательный, и показатели степеней у переменных вычислены неправильно (должно быть $ a^{16} $ и $ b^{24} $).

4) $ \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $: Верно. Все компоненты выражения возведены в степень правильно.

Ответ: 4) $ \frac{256a^{16}}{625b^{24}} $