Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$\frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} : \frac{9ab}{14c^2}$

1) $\frac{2a^3}{c^4}$

2) $\frac{2a^2}{c^8}$

3) $\frac{81a^4b^2}{98c^{12}}$

4) $\frac{2a^2b}{c^4}$

1.

Чтобы найти дробь, тождественно равную данному выражению, необходимо упростить его, выполнив все указанные действия с алгебраическими дробями.

Исходное выражение:

$$ \frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} : \frac{9ab}{14c^2} $$

Первым шагом заменим деление на дробь умножением на обратную (перевёрнутую) дробь. Деление на $\frac{9ab}{14c^2}$ эквивалентно умножению на $\frac{14c^2}{9ab}$.

$$ \frac{3a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{7c^7} \cdot \frac{14c^2}{9ab} $$

Теперь объединим всё в одну дробь, перемножив числители и знаменатели соответственно.

$$ \frac{3a^3 \cdot 6b^4 \cdot 14c^2}{2b^3c^3 \cdot 7c^7 \cdot 9ab} $$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени одинаковых переменных, чтобы упростить сокращение.

$$ \frac{(3 \cdot 6 \cdot 14) \cdot (a^3) \cdot (b^4) \cdot (c^2)}{(2 \cdot 7 \cdot 9) \cdot (a) \cdot (b^3 \cdot b) \cdot (c^3 \cdot c^7)} $$

Теперь выполним сокращение дроби. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$$ \frac{3 \cdot 6 \cdot 14}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{3 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{252}{126} = 2 $$

Далее сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Для переменной $a$:

$$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $$

Для переменной $b$:

$$ \frac{b^4}{b^3 \cdot b} = \frac{b^4}{b^{3+1}} = \frac{b^4}{b^4} = b^{4-4} = b^0 = 1 $$

Для переменной $c$:

$$ \frac{c^2}{c^3 \cdot c^7} = \frac{c^2}{c^{3+7}} = \frac{c^2}{c^{10}} = c^{2-10} = c^{-8} = \frac{1}{c^8} $$

Соберём все полученные части вместе, чтобы получить итоговый результат.

$$ 2 \cdot a^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{c^8} = \frac{2a^2}{c^8} $$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом 2).

Ответ: 2)

2. Укажите дробь, тождественно равную выражению

$ - \left(\frac{3a^3}{2b^7}\right)^5 $

1) $ - \frac{3a^8}{2b^{12}} $

2) $ - \frac{3a^{15}}{2b^{35}} $

3) $ - \frac{243a^8}{32b^{12}} $

4) $ - \frac{243a^{15}}{32b^{35}} $

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо возвести дробь в пятую степень. При возведении дроби в степень, мы возводим в эту степень и числитель, и знаменатель.

Исходное выражение: $(-\frac{3a^3}{2b^7})^5$

1. Применяем правило возведения в степень дроби $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:

$(-\frac{3a^3}{2b^7})^5 = \frac{(-3a^3)^5}{(2b^7)^5}$

2. Учитываем знак. Поскольку степень нечетная (5), отрицательное основание останется отрицательным:

$-\frac{(3a^3)^5}{(2b^7)^5}$

3. Применяем правило возведения в степень произведения $(xy)^n = x^n y^n$ к числителю и знаменателю:

Числитель: $(3a^3)^5 = 3^5 \cdot (a^3)^5$

Знаменатель: $(2b^7)^5 = 2^5 \cdot (b^7)^5$

Выражение принимает вид: $-\frac{3^5 \cdot (a^3)^5}{2^5 \cdot (b^7)^5}$

4. Применяем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

$(b^7)^5 = b^{7 \cdot 5} = b^{35}$

5. Вычисляем числовые коэффициенты:

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

6. Собираем все части вместе:

$-\frac{243a^{15}}{32b^{35}}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $-\frac{243a^{15}}{32b^{35}}$

3. Упростите выражение:

1) $36a^3b^2 \cdot \frac{2a^4}{9b^6}$;

2) $\frac{8m^3}{m^2 - 7m} \cdot \frac{5m - 35}{24m^2}$;

3) $\frac{14y}{108x^2 - 3y^2} \cdot (6xy - y^2)$;

4) $(-\frac{5m^4}{n^3p^2})^3 \cdot (-\frac{n^7}{10m^6p^3})^2$;

5) $\frac{26b^{12}c^{10}}{a^3} : (39a^9b^{10}c^8)$;

6) $\frac{m^2 + 6m + 9}{m^2 - 81} : \frac{m^2 + 3m}{4m - 36}$.

1) Чтобы упростить выражение $36a^3b^2 \cdot \frac{2a^4}{9b^6}$, представим первый множитель в виде дроби и выполним умножение:

$36a^3b^2 \cdot \frac{2a^4}{9b^6} = \frac{36a^3b^2}{1} \cdot \frac{2a^4}{9b^6} = \frac{36a^3b^2 \cdot 2a^4}{9b^6}$

Перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями в числителе:

$\frac{(36 \cdot 2) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot b^2}{9b^6} = \frac{72a^{3+4}b^2}{9b^6} = \frac{72a^7b^2}{9b^6}$

Теперь сократим дробь. Сократим числовые коэффициенты $72$ и $9$ на $9$. Сократим степени переменных, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{72}{9} \cdot a^7 \cdot \frac{b^2}{b^6} = 8 \cdot a^7 \cdot b^{2-6} = 8a^7b^{-4} = \frac{8a^7}{b^4}$

Ответ: $\frac{8a^7}{b^4}$

2) Чтобы упростить выражение $\frac{8m^3}{m^2 - 7m} \cdot \frac{5m - 35}{24m^2}$, разложим на множители числители и знаменатели дробей:

В знаменателе первой дроби вынесем $m$ за скобки: $m^2 - 7m = m(m-7)$.

В числителе второй дроби вынесем $5$ за скобки: $5m - 35 = 5(m-7)$.

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$\frac{8m^3}{m(m - 7)} \cdot \frac{5(m - 7)}{24m^2} = \frac{8m^3 \cdot 5(m - 7)}{m(m - 7) \cdot 24m^2}$

Сократим общие множители $(m-7)$, $m^3$ и $m \cdot m^2 = m^3$, а также числовые коэффициенты $8$ и $24$:

$\frac{8 \cdot 5}{24} = \frac{40}{24} = \frac{5 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

3) Чтобы упростить выражение $\frac{14y}{108x^2 - 3y^2} \cdot (6xy - y^2)$, разложим на множители знаменатель первой дроби и выражение в скобках:

В знаменателе вынесем общий множитель $3$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$108x^2 - 3y^2 = 3(36x^2 - y^2) = 3((6x)^2 - y^2) = 3(6x - y)(6x + y)$

В выражении $6xy - y^2$ вынесем общий множитель $y$:

$6xy - y^2 = y(6x - y)$

Подставим разложенные выражения и запишем произведение в виде одной дроби:

$\frac{14y}{3(6x - y)(6x + y)} \cdot \frac{y(6x - y)}{1} = \frac{14y \cdot y(6x - y)}{3(6x - y)(6x + y)}$

Сократим общий множитель $(6x - y)$:

$\frac{14y^2}{3(6x + y)}$

Ответ: $\frac{14y^2}{3(6x + y)}$

4) Чтобы упростить выражение $(-\frac{5m^4}{n^3p^2})^3 \cdot (-\frac{n^7}{10m^6p^3})^2$, возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя правило $( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(x^a)^b = x^{ab}$:

$(-\frac{5m^4}{n^3p^2})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{(5m^4)^3}{(n^3p^2)^3} = - \frac{5^3 (m^4)^3}{(n^3)^3 (p^2)^3} = -\frac{125m^{12}}{n^9p^6}$

$(-\frac{n^7}{10m^6p^3})^2 = (-1)^2 \cdot \frac{(n^7)^2}{(10m^6p^3)^2} = \frac{(n^7)^2}{10^2 (m^6)^2 (p^3)^2} = \frac{n^{14}}{100m^{12}p^6}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(-\frac{125m^{12}}{n^9p^6}) \cdot (\frac{n^{14}}{100m^{12}p^6}) = -\frac{125m^{12}n^{14}}{100m^{12}n^9p^{6+6}} = -\frac{125m^{12}n^{14}}{100m^{12}n^9p^{12}}$

Сократим дробь. Числовые коэффициенты $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Переменные: $m^{12}$ сокращается, $\frac{n^{14}}{n^9} = n^{14-9} = n^5$.

$-\frac{5}{4} n^5 \frac{1}{p^{12}} = -\frac{5n^5}{4p^{12}}$

Ответ: $-\frac{5n^5}{4p^{12}}$

5) Чтобы упростить выражение $\frac{26b^{12}c^{10}}{a^3} : (39a^9b^{10}c^8)$, заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{26b^{12}c^{10}}{a^3} \cdot \frac{1}{39a^9b^{10}c^8} = \frac{26b^{12}c^{10}}{39a^3a^9b^{10}c^8}$

Объединим степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:

$\frac{26b^{12}c^{10}}{39a^{3+9}b^{10}c^8} = \frac{26b^{12}c^{10}}{39a^{12}b^{10}c^8}$

Сократим числовые коэффициенты $\frac{26}{39} = \frac{2 \cdot 13}{3 \cdot 13} = \frac{2}{3}$.

Сократим степени переменных:

$\frac{b^{12}}{b^{10}} = b^{12-10} = b^2$

$\frac{c^{10}}{c^8} = c^{10-8} = c^2$

Соберем все вместе:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^{12}} \cdot b^2 \cdot c^2 = \frac{2b^2c^2}{3a^{12}}$

Ответ: $\frac{2b^2c^2}{3a^{12}}$

6) Чтобы упростить выражение $\frac{m^2 + 6m + 9}{m^2 - 81} : \frac{m^2 + 3m}{4m - 36}$, заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим все числители и знаменатели на множители:

$\frac{m^2 + 6m + 9}{m^2 - 81} \cdot \frac{4m - 36}{m^2 + 3m}$

Разложим на множители каждый многочлен:

$m^2 + 6m + 9 = (m+3)^2$ (формула квадрата суммы)

$m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m-9)(m+9)$ (формула разности квадратов)

$4m - 36 = 4(m-9)$ (вынесение общего множителя)

$m^2 + 3m = m(m+3)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(m+3)^2}{(m-9)(m+9)} \cdot \frac{4(m-9)}{m(m+3)}$

Запишем все под одной дробной чертой и сократим общие множители:

$\frac{(m+3)(m+3) \cdot 4(m-9)}{(m-9)(m+9) \cdot m(m+3)}$

Сокращаем $(m+3)$ и $(m-9)$:

$\frac{4(m+3)}{m(m+9)}$

Ответ: $\frac{4(m+3)}{m(m+9)}$

4. Найдите значение выражения $ \frac{216 - b^3}{16 - b^4} : \frac{b^2 + 6b + 36}{b^2 + 4} $, если $b = -8$.

4.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Исходное выражение:

$$ \frac{216 - b^3}{16 - b^4} \div \frac{b^2 + 6b + 36}{b^2 + 4} $$

Заменим операцию деления на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$$ \frac{216 - b^3}{16 - b^4} \cdot \frac{b^2 + 4}{b^2 + 6b + 36} $$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $216 - b^3$ является разностью кубов ($a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$):
$216 - b^3 = 6^3 - b^3 = (6-b)(36 + 6b + b^2)$.

Знаменатель $16 - b^4$ является разностью квадратов ($a^2-c^2=(a-c)(a+c)$):
$16 - b^4 = 4^2 - (b^2)^2 = (4-b^2)(4+b^2)$.

Подставим полученные разложения обратно в выражение:

$$ \frac{(6-b)(36 + 6b + b^2)}{(4-b^2)(4+b^2)} \cdot \frac{b^2 + 4}{b^2 + 6b + 36} $$

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(36 + 6b + b^2)$ и множитель $(b^2 + 4)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются:

$$ \frac{6-b}{4-b^2} $$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $b = -8$:

$$ \frac{6 - (-8)}{4 - (-8)^2} = \frac{6 + 8}{4 - 64} = \frac{14}{-60} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$$ \frac{14}{-60} = -\frac{7}{30} $$

Ответ: $-\frac{7}{30}$.