Страница 37 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $4x = 12$ и $x + 3 = 6$

2) $x^2 = -16$ и $\frac{7}{x} = 0$

3) $(x - 3)(x + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

4) $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней (решений). Если уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными. Чтобы найти пару неравносильных уравнений, проанализируем каждую предложенную пару.

1) $4x = 12$ и $x + 3 = 6$

Решим первое уравнение: $4x = 12$. Разделив обе части на 4, получим $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Решим второе уравнение: $x + 3 = 6$. Вычтем 3 из обеих частей, получим $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Так как множества корней обоих уравнений совпадают, эти уравнения являются равносильными.

2) $x^2 = -16$ и $\frac{7}{x} = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 = -16$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество корней пустое ($\emptyset$).

Рассмотрим второе уравнение: $\frac{7}{x} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 7, поэтому уравнение не имеет корней. Множество корней также пустое ($\emptyset$).

Так как оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

3) $(x - 3)(x + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 3)(x + 4) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 3 = 0$ или $x + 4 = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Множество корней: $\{-4, 3\}$.

Решим второе уравнение: $x - 3 = 0$. Его единственный корень $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Множества корней $\{-4, 3\}$ и $\{3\}$ не совпадают. Следовательно, эти уравнения не являются равносильными.

4) $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$ и $x - 3 = 0$

Решим первое уравнение: $(x - 3)(x^2 + 4) = 0$. Произведение равно нулю, если $x - 3 = 0$ или $x^2 + 4 = 0$. Первое уравнение дает корень $x = 3$. Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней. Таким образом, у первого уравнения есть только один корень: $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Второе уравнение $x - 3 = 0$ также имеет единственный корень $x = 3$. Множество корней: $\{3\}$.

Множества корней обоих уравнений совпадают, поэтому уравнения равносильны.

Вывод: единственная пара неравносильных уравнений представлена в пункте 3.

Ответ: 3.

2. Решите уравнение $\frac{x^2 - 144}{x - 12} = 0$.

1) -12

2) 12

3) -12; 12

4) корней нет

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 144 = 0 \\ x - 12 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы: $x^2 - 144 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 12)(x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 12 = 0$ или $x + 12 = 0$

$x_1 = 12$

$x_2 = -12$

2. Проверим второе условие системы, которое является областью допустимых значений (ОДЗ):

$x - 12 \neq 0$

$x \neq 12$

3. Сопоставим полученные корни с ОДЗ.

Корень $x_1 = 12$ не удовлетворяет условию $x \neq 12$, следовательно, он является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Корень $x_2 = -12$ удовлетворяет условию $x \neq 12$, следовательно, это единственное решение уравнения.

Ответ: $-12$

3. Решите уравнение:

1) $\frac{x+2}{x-4} = \frac{3x-2}{3x+2}$;

2) $\frac{x^2+4x+5}{x+5} = 1$;

3) $\frac{7x-8}{x-4} = \frac{3x+8}{x-4}$.

1) Дано уравнение: $\frac{x+2}{x-4} = \frac{3x-2}{3x+2}$.
Найдём область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$3x + 2 \neq 0 \implies 3x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{3}$
Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):
$(x+2)(3x+2) = (3x-2)(x-4)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3x^2 + 2x + 6x + 4 = 3x^2 - 12x - 2x + 8$
Приведём подобные слагаемые:
$3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 - 14x + 8$
Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения:
$8x + 4 = -14x + 8$
Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$8x + 14x = 8 - 4$
$22x = 4$
$x = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $x = \frac{2}{11}$ не равно 4 и не равно $-\frac{2}{3}$, корень является решением уравнения.
Ответ: $\frac{2}{11}$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2+4x+5}{x+5} = 1$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю:
$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+5)$:
$x^2 + 4x + 5 = 1 \cdot (x+5)$
$x^2 + 4x + 5 = x + 5$
Перенесём все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + 4x - x + 5 - 5 = 0$
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$.
Оба корня (0 и -3) входят в ОДЗ, так как они не равны -5.
Ответ: -3; 0.

3) Дано уравнение: $\frac{7x-8}{x-4} = \frac{3x+8}{x-4}$.
ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их числители, при условии соблюдения ОДЗ:
$7x - 8 = 3x + 8$
Перенесём слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:
$7x - 3x = 8 + 8$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Сравним полученный результат с ОДЗ. Мы видим, что корень $x=4$ не входит в область допустимых значений ($x \neq 4$). Это означает, что при $x=4$ знаменатель исходных дробей обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

4. Первая труба наполняет бак объёмом 630 л, а вторая труба — бак объёмом 690 л. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 6 л воды больше, чем другая. Трубы начинают наполнять пустые баки одновременно. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если баки наполняются за одинаковое время?

Пусть производительность (скорость потока) первой трубы равна $v_1$ литров в минуту, а второй трубы — $v_2$ литров в минуту.

Объём бака, который наполняет первая труба, составляет $V_1 = 630$ л. Время, необходимое для его заполнения: $t_1 = \frac{V_1}{v_1} = \frac{630}{v_1}$ минут.

Объём бака, который наполняет вторая труба, составляет $V_2 = 690$ л. Время, необходимое для его заполнения: $t_2 = \frac{V_2}{v_2} = \frac{690}{v_2}$ минут.

По условию задачи, баки наполняются за одинаковое время, значит $t_1 = t_2$. Составим уравнение:

$\frac{630}{v_1} = \frac{690}{v_2}$

Выразим $v_2$ через $v_1$ из этого уравнения. Для этого умножим обе части на $v_1 \cdot v_2$:

$630 \cdot v_2 = 690 \cdot v_1$

Разделим обе части на 30:

$21 \cdot v_2 = 23 \cdot v_1$

$v_2 = \frac{23}{21} \cdot v_1$

Поскольку $\frac{23}{21} > 1$, то $v_2 > v_1$. Это означает, что производительность второй трубы больше, чем первой.

Из условия известно, что одна из труб пропускает на 6 л воды в минуту больше, чем другая. Так как мы выяснили, что $v_2 > v_1$, то можем записать:

$v_2 = v_1 + 6$

Теперь подставим это выражение в полученное ранее соотношение $21 \cdot v_2 = 23 \cdot v_1$:

$21 \cdot (v_1 + 6) = 23 \cdot v_1$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$21v_1 + 126 = 23v_1$

$23v_1 - 21v_1 = 126$

$2v_1 = 126$

$v_1 = \frac{126}{2}$

$v_1 = 63$

Таким образом, первая труба пропускает 63 литра воды в минуту.

Ответ: 63