Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $(-\frac{3}{4})^{-3}$?

1) $\frac{27}{64}$

2) $-\frac{27}{64}$

3) $2\frac{10}{27}$

4) $-2\frac{10}{27}$

Для того чтобы найти значение выражения $(-\frac{3}{4})^{-3}$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Избавимся от отрицательного показателя степени.

Согласно свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, для дроби это правило выглядит как $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Это означает, что мы должны "перевернуть" дробь и изменить знак показателя степени на противоположный.

$(-\frac{3}{4})^{-3} = (-\frac{4}{3})^{3}$

2. Возведем полученную дробь в степень.

Теперь нужно возвести дробь $-\frac{4}{3}$ в третью степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3 — нечетное число) результат будет отрицательным. Возведение дроби в степень равносильно возведению в эту степень и числителя, и знаменателя.

$(-\frac{4}{3})^{3} = -(\frac{4}{3})^3 = -\frac{4^3}{3^3}$

3. Вычислим значения числителя и знаменателя.

Вычислим $4^3$ и $3^3$.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

4. Получим окончательный результат в виде неправильной дроби.

Подставим вычисленные значения в выражение:

$-\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

Для сравнения с предложенными вариантами ответов, представим неправильную дробь $-\frac{64}{27}$ в виде смешанного числа. Для этого разделим 64 на 27 с остатком:

$64 \div 27 = 2$ (целая часть), остаток: $64 - 2 \cdot 27 = 64 - 54 = 10$.

Следовательно, $-\frac{64}{27} = -2\frac{10}{27}$.

Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: $-2\frac{10}{27}$

2. Каков порядок числа 0,0057?

1) $-4$

2) $-3$

3) $4$

4) $3$

Порядок числа — это показатель степени в его стандартной записи. Стандартная запись числа имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а целое число $n$ является порядком числа.

Чтобы представить число 0,0057 в стандартном виде, необходимо перенести запятую так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра (от 1 до 9).

В числе 0,0057 первая значащая цифра — это 5. Перенесем запятую на 3 знака вправо, чтобы она оказалась после цифры 5. Это даст нам число 5,7.

Поскольку запятая была перенесена на 3 знака вправо, это эквивалентно делению на $10^3$ или умножению на $10^{-3}$. Таким образом, стандартная запись числа 0,0057 выглядит следующим образом: $0,0057 = 5,7 \cdot 10^{-3}$

Порядком данного числа является показатель степени $n$, который в нашем случае равен -3. Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: -3

3. Найдите значение выражения $ \left(-\frac{7}{6}\right)^{-2} + (-7)^{-3} + \left(\frac{5}{7}\right)^{0} $.

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо вычислить значение каждого из трех слагаемых и затем сложить их.

1. Вычислим значение первого слагаемого: $\left(-1\frac{1}{6}\right)^{-2}$.

Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{7}{6}$.

Далее, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$\left(-\frac{7}{6}\right)^{-2} = \left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$.

Возводим в квадрат. Так как показатель степени четный (2), результат будет положительным:

$\left(-\frac{6}{7}\right)^{2} = \frac{6^2}{7^2} = \frac{36}{49}$.

2. Вычислим значение второго слагаемого: $(-7)^{-3}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$(-7)^{-3} = \frac{1}{(-7)^3}$.

Возводим -7 в куб. Так как показатель степени нечетный (3), результат будет отрицательным:

$(-7)^3 = -343$.

Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{1}{-343} = -\frac{1}{343}$.

3. Вычислим значение третьего слагаемого: $\left(\frac{5}{7}\right)^0$.

Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1:

$\left(\frac{5}{7}\right)^0 = 1$.

4. Теперь сложим полученные значения всех трех слагаемых:

$\frac{36}{49} + \left(-\frac{1}{343}\right) + 1 = \frac{36}{49} - \frac{1}{343} + 1$.

Для выполнения сложения и вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 49 и 343 равен 343, так как $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.

Приведем дробь $\frac{36}{49}$ к знаменателю 343, умножив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{36}{49} = \frac{36 \cdot 7}{49 \cdot 7} = \frac{252}{343}$.

Представим 1 как дробь со знаменателем 343:

$1 = \frac{343}{343}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{252}{343} - \frac{1}{343} + \frac{343}{343} = \frac{252 - 1 + 343}{343} = \frac{594}{343}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$594 \div 343 = 1$ и остаток $594 - 343 = 251$.

Следовательно, $\frac{594}{343} = 1\frac{251}{343}$.

Ответ: $1\frac{251}{343}$.

4. Запишите в стандартном виде число:

1) 312 600 000;

2) 0,000091.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1)

Чтобы записать число 312 600 000 в стандартном виде, необходимо представить его в виде произведения, где первый множитель $a$ удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Для этого мысленно поставим запятую после первой значащей цифры, то есть после 3. Получим число 3,126. Теперь определим показатель степени $n$. Для этого посчитаем количество цифр, на которое сместилась запятая. В числе 312 600 000 запятая сместилась на 8 позиций влево, чтобы получилось 3,126. Так как исходное число больше 1, показатель степени будет положительным. Таким образом, $n = 8$.
В результате получаем: $312 600 000 = 3,126 \cdot 10^8$.
Ответ: $3,126 \cdot 10^8$.

2)

Для числа 0,000091 поступим аналогично. Переместим запятую вправо так, чтобы перед ней оказалась одна значащая цифра. Это цифра 9. Получим число 9,1. Посчитаем, на сколько позиций мы сдвинули запятую. Запятая сместилась на 5 позиций вправо. Так как исходное число меньше 1, показатель степени будет отрицательным. Таким образом, $n = -5$.
В результате получаем: $0,000091 = 9,1 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $9,1 \cdot 10^{-5}$.

5. Сравните значения выражений $0,9^{-12}$ и $0,9^{12}$.

Для сравнения значений выражений $0.9^{-12}$ и $0.9^{12}$ можно воспользоваться одним из двух подходов.

Способ 1: Преобразование выражения с отрицательной степенью

По определению степени с целым отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$). Применим это свойство к первому выражению:

$0.9^{-12} = \frac{1}{0.9^{12}}$

Теперь задача сводится к сравнению двух чисел: $\frac{1}{0.9^{12}}$ и $0.9^{12}$.

Рассмотрим основание степени — число $0.9$. Это число больше 0, но меньше 1, то есть $0 < 0.9 < 1$. При возведении такого числа в положительную степень (в данном случае, 12), результат также будет числом, находящимся в интервале от 0 до 1. То есть, $0 < 0.9^{12} < 1$.

Пусть $x = 0.9^{12}$. Тогда мы знаем, что $0 < x < 1$. Нам нужно сравнить $\frac{1}{x}$ и $x$.

Если число $x$ является положительным и меньшим 1, то обратное ему число $\frac{1}{x}$ всегда будет больше 1. Например, если $x = 0.5$, то $\frac{1}{x} = \frac{1}{0.5} = 2$, и очевидно, что $2 > 0.5$.

Таким образом, мы имеем $x < 1$ и $\frac{1}{x} > 1$, из чего следует, что $\frac{1}{x} > x$.

Подставляя обратно $x = 0.9^{12}$, получаем:

$\frac{1}{0.9^{12}} > 0.9^{12}$

А значит, $0.9^{-12} > 0.9^{12}$.

Способ 2: Использование свойств показательной функции

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$.

Свойство этой функции гласит: если основание $a$ находится в интервале $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.

В нашем случае основание $a = 0.9$, что удовлетворяет условию $0 < 0.9 < 1$. Следовательно, функция $y=0.9^x$ является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней, которые являются аргументами этой функции: $-12$ и $12$.

$-12 < 12$

Поскольку функция $y=0.9^x$ убывающая, то для значений выражений с этими показателями знак неравенства изменится на противоположный:

$0.9^{-12} > 0.9^{12}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0.9^{-12} > 0.9^{12}$.

6. Представьте в виде дроби выражение

$(ab^{-1} - 9a^{-1}b) \cdot (3 + ab^{-1})^{-1}$

Чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразование отрицательных степеней.

Воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $(ab^{-1} - 9a^{-1}b) \cdot (3 + ab^{-1})^{-1}$.

Заменим $b^{-1}$ на $\frac{1}{b}$ и $a^{-1}$ на $\frac{1}{a}$:

$(a \cdot \frac{1}{b} - 9 \cdot \frac{1}{a} \cdot b) \cdot (3 + a \cdot \frac{1}{b})^{-1} = (\frac{a}{b} - \frac{9b}{a}) \cdot (3 + \frac{a}{b})^{-1}$.

2. Упрощение выражения в первой скобке.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a}{b} - \frac{9b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{9b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - 9b^2}{ab}$.

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2 - (3b)^2$, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.

Таким образом, выражение в первой скобке равно $\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{ab}$.

3. Упрощение выражения во второй скобке.

Сначала сложим числа в скобке, приведя их к общему знаменателю $b$:

$3 + \frac{a}{b} = \frac{3b}{b} + \frac{a}{b} = \frac{3b + a}{b}$.

Теперь применим отрицательную степень к полученной дроби, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-1} = \frac{y}{x}$:

$(\frac{3b + a}{b})^{-1} = \frac{b}{a + 3b}$.

4. Перемножение упрощенных выражений.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{ab} \cdot \frac{b}{a + 3b}$.

Сократим общие множители. В числителе и знаменателе есть множитель $(a + 3b)$, а также множитель $b$.

$\frac{(a - 3b)\cancel{(a + 3b)}}{a\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{(a + 3b)}} = \frac{a - 3b}{a}$.

Ответ: $\frac{a - 3b}{a}$