Номер 5, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сравните значения выражений $0,9^{-12}$ и $0,9^{12}$.

Для сравнения значений выражений $0.9^{-12}$ и $0.9^{12}$ можно воспользоваться одним из двух подходов.

Способ 1: Преобразование выражения с отрицательной степенью

По определению степени с целым отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$). Применим это свойство к первому выражению:

$0.9^{-12} = \frac{1}{0.9^{12}}$

Теперь задача сводится к сравнению двух чисел: $\frac{1}{0.9^{12}}$ и $0.9^{12}$.

Рассмотрим основание степени — число $0.9$. Это число больше 0, но меньше 1, то есть $0 < 0.9 < 1$. При возведении такого числа в положительную степень (в данном случае, 12), результат также будет числом, находящимся в интервале от 0 до 1. То есть, $0 < 0.9^{12} < 1$.

Пусть $x = 0.9^{12}$. Тогда мы знаем, что $0 < x < 1$. Нам нужно сравнить $\frac{1}{x}$ и $x$.

Если число $x$ является положительным и меньшим 1, то обратное ему число $\frac{1}{x}$ всегда будет больше 1. Например, если $x = 0.5$, то $\frac{1}{x} = \frac{1}{0.5} = 2$, и очевидно, что $2 > 0.5$.

Таким образом, мы имеем $x < 1$ и $\frac{1}{x} > 1$, из чего следует, что $\frac{1}{x} > x$.

Подставляя обратно $x = 0.9^{12}$, получаем:

$\frac{1}{0.9^{12}} > 0.9^{12}$

А значит, $0.9^{-12} > 0.9^{12}$.

Способ 2: Использование свойств показательной функции

Рассмотрим показательную функцию $y = a^x$.

Свойство этой функции гласит: если основание $a$ находится в интервале $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.

В нашем случае основание $a = 0.9$, что удовлетворяет условию $0 < 0.9 < 1$. Следовательно, функция $y=0.9^x$ является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней, которые являются аргументами этой функции: $-12$ и $12$.

$-12 < 12$

Поскольку функция $y=0.9^x$ убывающая, то для значений выражений с этими показателями знак неравенства изменится на противоположный:

$0.9^{-12} > 0.9^{12}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0.9^{-12} > 0.9^{12}$.