Номер 6, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Представьте в виде дроби выражение

$(ab^{-1} - 9a^{-1}b) \cdot (3 + ab^{-1})^{-1}$

Чтобы представить данное выражение в виде дроби, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразование отрицательных степеней.

Воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $(ab^{-1} - 9a^{-1}b) \cdot (3 + ab^{-1})^{-1}$.

Заменим $b^{-1}$ на $\frac{1}{b}$ и $a^{-1}$ на $\frac{1}{a}$:

$(a \cdot \frac{1}{b} - 9 \cdot \frac{1}{a} \cdot b) \cdot (3 + a \cdot \frac{1}{b})^{-1} = (\frac{a}{b} - \frac{9b}{a}) \cdot (3 + \frac{a}{b})^{-1}$.

2. Упрощение выражения в первой скобке.

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a}{b} - \frac{9b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{9b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - 9b^2}{ab}$.

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2 - (3b)^2$, которую можно разложить на множители по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.

Таким образом, выражение в первой скобке равно $\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{ab}$.

3. Упрощение выражения во второй скобке.

Сначала сложим числа в скобке, приведя их к общему знаменателю $b$:

$3 + \frac{a}{b} = \frac{3b}{b} + \frac{a}{b} = \frac{3b + a}{b}$.

Теперь применим отрицательную степень к полученной дроби, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-1} = \frac{y}{x}$:

$(\frac{3b + a}{b})^{-1} = \frac{b}{a + 3b}$.

4. Перемножение упрощенных выражений.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{ab} \cdot \frac{b}{a + 3b}$.

Сократим общие множители. В числителе и знаменателе есть множитель $(a + 3b)$, а также множитель $b$.

$\frac{(a - 3b)\cancel{(a + 3b)}}{a\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}}{\cancel{(a + 3b)}} = \frac{a - 3b}{a}$.

Ответ: $\frac{a - 3b}{a}$