Номер 6, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Представьте в виде дроби выражение

$(a^{-1}b - 4ab^{-1}) \cdot (2 + a^{-1}b)^{-1}$.

Чтобы представить выражение $(a^{-1}b - 4ab^{-1}) \cdot (2 + a^{-1}b)^{-1}$ в виде дроби, выполним преобразования по частям.

1. Упростим первый множитель $(a^{-1}b - 4ab^{-1})$

Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, перепишем выражение:

$a^{-1}b - 4ab^{-1} = \frac{1}{a} \cdot b - 4a \cdot \frac{1}{b} = \frac{b}{a} - \frac{4a}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{4a \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b^2 - 4a^2}{ab}$

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$b^2 - 4a^2 = b^2 - (2a)^2 = (b - 2a)(b + 2a)$

Таким образом, первый множитель равен $\frac{(b - 2a)(b + 2a)}{ab}$.

2. Упростим второй множитель $(2 + a^{-1}b)^{-1}$

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$2 + a^{-1}b = 2 + \frac{b}{a}$

Приведем к общему знаменателю $a$:

$2 + \frac{b}{a} = \frac{2a}{a} + \frac{b}{a} = \frac{2a + b}{a}$

Теперь возведем полученную дробь в степень $-1$, что равносильно ее переворачиванию:

$(\frac{2a + b}{a})^{-1} = \frac{a}{2a + b}$

3. Перемножим полученные дроби

Теперь умножим результаты шагов 1 и 2:

$\frac{(b - 2a)(b + 2a)}{ab} \cdot \frac{a}{2a + b}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что $b + 2a = 2a + b$.

$\frac{(b - 2a)\cancel{(b + 2a)}}{ab} \cdot \frac{a}{\cancel{(2a + b)}} = \frac{(b - 2a) \cdot a}{ab}$

Далее сократим $a$:

$\frac{(b - 2a) \cdot \cancel{a}}{\cancel{a}b} = \frac{b - 2a}{b}$

Ответ: $\frac{b - 2a}{b}$