Номер 3, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Найдите значение выражения

$(-1 \frac{1}{8})^{-2} + (-3)^{-4} + \left(\frac{25}{27}\right)^0.$

Данное выражение представляет собой сумму трех слагаемых. Вычислим значение каждого из них по отдельности, а затем сложим результаты.

1. Вычисление первого слагаемого: $(-1\frac{1}{8})^{-2}$

Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{8} = -(\frac{1 \cdot 8 + 1}{8}) = -\frac{9}{8}$

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(-\frac{9}{8})^{-2} = (-\frac{8}{9})^{2}$

Возведем полученную дробь в квадрат. Поскольку показатель степени (2) является четным числом, отрицательный знак убирается:

$(-\frac{8}{9})^{2} = \frac{8^2}{9^2} = \frac{64}{81}$

2. Вычисление второго слагаемого: $(-3)^{-4}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4}$

Вычислим знаменатель. Так как показатель степени (4) четный, результат будет положительным:

$(-3)^4 = 3^4 = 81$

Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{1}{81}$.

3. Вычисление третьего слагаемого: $(\frac{25}{27})^{0}$

Согласно свойству степени, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0=1$ при $a \neq 0$):

$(\frac{25}{27})^{0} = 1$

4. Сложение результатов

Теперь сложим значения всех трех слагаемых:

$\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + 1$

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{64}{81} + \frac{1}{81} = \frac{64 + 1}{81} = \frac{65}{81}$

Затем прибавим единицу, представив ее как дробь со знаменателем 81:

$\frac{65}{81} + 1 = \frac{65}{81} + \frac{81}{81} = \frac{65 + 81}{81} = \frac{146}{81}$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или преобразовать в смешанное число:

$\frac{146}{81} = 1\frac{65}{81}$

Ответ: $1\frac{65}{81}$