Номер 3, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Найдите значение выражения $ \left(-\frac{7}{6}\right)^{-2} + (-7)^{-3} + \left(\frac{5}{7}\right)^{0} $.

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо вычислить значение каждого из трех слагаемых и затем сложить их.

1. Вычислим значение первого слагаемого: $\left(-1\frac{1}{6}\right)^{-2}$.

Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = -\frac{7}{6}$.

Далее, используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$\left(-\frac{7}{6}\right)^{-2} = \left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$.

Возводим в квадрат. Так как показатель степени четный (2), результат будет положительным:

$\left(-\frac{6}{7}\right)^{2} = \frac{6^2}{7^2} = \frac{36}{49}$.

2. Вычислим значение второго слагаемого: $(-7)^{-3}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$(-7)^{-3} = \frac{1}{(-7)^3}$.

Возводим -7 в куб. Так как показатель степени нечетный (3), результат будет отрицательным:

$(-7)^3 = -343$.

Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{1}{-343} = -\frac{1}{343}$.

3. Вычислим значение третьего слагаемого: $\left(\frac{5}{7}\right)^0$.

Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1:

$\left(\frac{5}{7}\right)^0 = 1$.

4. Теперь сложим полученные значения всех трех слагаемых:

$\frac{36}{49} + \left(-\frac{1}{343}\right) + 1 = \frac{36}{49} - \frac{1}{343} + 1$.

Для выполнения сложения и вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 49 и 343 равен 343, так как $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$.

Приведем дробь $\frac{36}{49}$ к знаменателю 343, умножив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{36}{49} = \frac{36 \cdot 7}{49 \cdot 7} = \frac{252}{343}$.

Представим 1 как дробь со знаменателем 343:

$1 = \frac{343}{343}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{252}{343} - \frac{1}{343} + \frac{343}{343} = \frac{252 - 1 + 343}{343} = \frac{594}{343}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$594 \div 343 = 1$ и остаток $594 - 343 = 251$.

Следовательно, $\frac{594}{343} = 1\frac{251}{343}$.

Ответ: $1\frac{251}{343}$.