Страница 44 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $(- \frac{2}{5})^{-3}$?

1) $ \frac{8}{125} $

2) $ -\frac{8}{125} $

3) $ 15\frac{5}{8} $

4) $ -15\frac{5}{8} $

1. Чтобы найти значение выражения с отрицательной степенью, нужно воспользоваться свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Для дроби это свойство означает, что дробь нужно "перевернуть", а показатель степени сделать положительным: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применим это правило к заданному выражению:

$(-\frac{2}{5})^{-3} = (-\frac{5}{2})^3$

Далее необходимо возвести дробь в третью степень. Это означает, что нужно умножить дробь саму на себя три раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным.

$(-\frac{5}{2})^3 = (-1)^3 \cdot (\frac{5}{2})^3 = -(\frac{5^3}{2^3})$

Вычислим значения числителя и знаменателя:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, получаем неправильную дробь:

$-\frac{125}{8}$

Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами, представим эту неправильную дробь в виде смешанного числа. Для этого разделим числитель 125 на знаменатель 8 с остатком:

$125 \div 8 = 15$ (целая часть) и $5$ в остатке.

Значит, $-\frac{125}{8} = -15\frac{5}{8}$.

Ответ: $-15\frac{5}{8}$

2. Каков порядок числа $0,00028$?

1) $5$ 2) $4$ 3) $-5$ 4) $-4$

Порядок числа — это показатель степени числа 10, когда число записано в стандартном виде.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ и является порядком числа.

Чтобы представить число 0,00028 в стандартном виде, необходимо переместить запятую так, чтобы перед ней осталась одна значащая цифра. В данном случае это цифра 2.

Переместим запятую в числе 0,00028 на 4 знака вправо, чтобы получить 2,8:

$0,00028$

Поскольку мы сдвинули запятую на 4 знака вправо, это эквивалентно умножению на $10^4$. Чтобы значение числа не изменилось, мы должны умножить его на $10^{-4}$.

Таким образом, получаем:

$0,00028 = 2,8 \cdot 10^{-4}$

В этой записи показатель степени $n = -4$. Следовательно, порядок числа 0,00028 равен -4.

Ответ: -4

3. Найдите значение выражения

$(-1 \frac{1}{8})^{-2} + (-3)^{-4} + \left(\frac{25}{27}\right)^0.$

Данное выражение представляет собой сумму трех слагаемых. Вычислим значение каждого из них по отдельности, а затем сложим результаты.

1. Вычисление первого слагаемого: $(-1\frac{1}{8})^{-2}$

Сначала преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь:

$-1\frac{1}{8} = -(\frac{1 \cdot 8 + 1}{8}) = -\frac{9}{8}$

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ или $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(-\frac{9}{8})^{-2} = (-\frac{8}{9})^{2}$

Возведем полученную дробь в квадрат. Поскольку показатель степени (2) является четным числом, отрицательный знак убирается:

$(-\frac{8}{9})^{2} = \frac{8^2}{9^2} = \frac{64}{81}$

2. Вычисление второго слагаемого: $(-3)^{-4}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4}$

Вычислим знаменатель. Так как показатель степени (4) четный, результат будет положительным:

$(-3)^4 = 3^4 = 81$

Таким образом, второе слагаемое равно $\frac{1}{81}$.

3. Вычисление третьего слагаемого: $(\frac{25}{27})^{0}$

Согласно свойству степени, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице ($a^0=1$ при $a \neq 0$):

$(\frac{25}{27})^{0} = 1$

4. Сложение результатов

Теперь сложим значения всех трех слагаемых:

$\frac{64}{81} + \frac{1}{81} + 1$

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{64}{81} + \frac{1}{81} = \frac{64 + 1}{81} = \frac{65}{81}$

Затем прибавим единицу, представив ее как дробь со знаменателем 81:

$\frac{65}{81} + 1 = \frac{65}{81} + \frac{81}{81} = \frac{65 + 81}{81} = \frac{146}{81}$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или преобразовать в смешанное число:

$\frac{146}{81} = 1\frac{65}{81}$

Ответ: $1\frac{65}{81}$

4. Запишите в стандартном виде число:

1) 4 237 000 000;

2) 0,0000085.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) 4 237 000 000

Чтобы представить число 4 237 000 000 в стандартном виде, необходимо переместить запятую так, чтобы перед ней осталась только одна значащая цифра. В данном числе запятая находится в конце (4 237 000 000,0).

Переместим запятую на 9 позиций влево, чтобы получить число 4,237. Так как мы уменьшили число, сдвинув запятую влево, мы должны умножить его на 10 в степени, равной количеству позиций, на которые была сдвинута запятая.

Получаем: $4 \ 237 \ 000 \ 000 = 4,237 \cdot 10^9$.

Ответ: $4,237 \cdot 10^9$.

2) 0,00000085

Чтобы представить число 0,00000085 в стандартном виде, необходимо переместить запятую вправо до первой значащей цифры.

Переместим запятую на 7 позиций вправо, чтобы получить число 8,5. Так как мы увеличили число, сдвинув запятую вправо, мы должны умножить его на 10 в отрицательной степени, равной по модулю количеству позиций, на которые была сдвинута запятая.

Получаем: $0,00000085 = 8,5 \cdot 10^{-7}$.

Ответ: $8,5 \cdot 10^{-7}$.

5. Сравните значения выражений $0.7^{10}$ и $0.7^{-10}$.

Чтобы сравнить значения выражений $0,7^{10}$ и $0,7^{-10}$, рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$.

Основание степени в обоих выражениях равно $a = 0,7$. Поскольку основание удовлетворяет неравенству $0 < 0,7 < 1$, показательная функция $y = 0,7^x$ является убывающей. Это означает, что для двух любых показателей $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 > x_2$, следует, что $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней данных выражений: $10$ и $-10$. Очевидно, что $10 > -10$.

Так как функция убывающая, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение выражения. Следовательно, из $10 > -10$ вытекает, что $0,7^{10} < 0,7^{-10}$.

Можно также рассуждать иначе. Значение $0,7^{10}$ — это число от 0 до 1, возведенное в положительную степень, поэтому результат будет меньше 1, но больше 0: $0 < 0,7^{10} < 1$.

Значение $0,7^{-10}$ можно преобразовать, используя свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$.

$0,7^{-10} = (\frac{1}{0,7})^{10} = (\frac{10}{7})^{10}$

Так как дробь $\frac{10}{7}$ больше 1, то при возведении ее в положительную степень 10 результат будет больше 1: $(\frac{10}{7})^{10} > 1$.

Сравнивая два числа, одно из которых ($0,7^{10}$) меньше 1, а другое ($0,7^{-10}$) больше 1, мы приходим к тому же выводу.

Ответ: $0,7^{10} < 0,7^{-10}$.

6. Представьте в виде дроби выражение

$(a^{-1}b - 4ab^{-1}) \cdot (2 + a^{-1}b)^{-1}$.

Чтобы представить выражение $(a^{-1}b - 4ab^{-1}) \cdot (2 + a^{-1}b)^{-1}$ в виде дроби, выполним преобразования по частям.

1. Упростим первый множитель $(a^{-1}b - 4ab^{-1})$

Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, перепишем выражение:

$a^{-1}b - 4ab^{-1} = \frac{1}{a} \cdot b - 4a \cdot \frac{1}{b} = \frac{b}{a} - \frac{4a}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{4a \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b^2 - 4a^2}{ab}$

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$b^2 - 4a^2 = b^2 - (2a)^2 = (b - 2a)(b + 2a)$

Таким образом, первый множитель равен $\frac{(b - 2a)(b + 2a)}{ab}$.

2. Упростим второй множитель $(2 + a^{-1}b)^{-1}$

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$2 + a^{-1}b = 2 + \frac{b}{a}$

Приведем к общему знаменателю $a$:

$2 + \frac{b}{a} = \frac{2a}{a} + \frac{b}{a} = \frac{2a + b}{a}$

Теперь возведем полученную дробь в степень $-1$, что равносильно ее переворачиванию:

$(\frac{2a + b}{a})^{-1} = \frac{a}{2a + b}$

3. Перемножим полученные дроби

Теперь умножим результаты шагов 1 и 2:

$\frac{(b - 2a)(b + 2a)}{ab} \cdot \frac{a}{2a + b}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что $b + 2a = 2a + b$.

$\frac{(b - 2a)\cancel{(b + 2a)}}{ab} \cdot \frac{a}{\cancel{(2a + b)}} = \frac{(b - 2a) \cdot a}{ab}$

Далее сократим $a$:

$\frac{(b - 2a) \cdot \cancel{a}}{\cancel{a}b} = \frac{b - 2a}{b}$

Ответ: $\frac{b - 2a}{b}$