Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите среди данных функций обратную пропорциональность.

1) $y = \frac{x}{12}$

2) $y = 12x$

3) $y = 12 + x$

4) $y = \frac{12}{x}$

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент обратной пропорциональности). Основное свойство такой зависимости заключается в том, что произведение переменных $x \cdot y$ всегда постоянно и равно $k$.

Рассмотрим предложенные функции:

1) $y = \frac{x}{12}$
Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{12}x$. Это функция вида $y = kx$, которая является прямой пропорциональностью с коэффициентом $k = \frac{1}{12}$. Следовательно, это не обратная пропорциональность.

2) $y = 12x$
Это также функция прямой пропорциональности вида $y = kx$ с коэффициентом $k = 12$. Следовательно, это не обратная пропорциональность.

3) $y = 12 + x$
Это линейная функция вида $y = mx + b$. Она не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

4) $y = \frac{12}{x}$
Эта функция полностью соответствует определению обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 12$. Произведение $x \cdot y = 12$ является постоянной величиной. Следовательно, это обратная пропорциональность.

Таким образом, единственная функция, представляющая обратную пропорциональность, находится под номером 4.

Ответ: 4

2. График какой из данных функций изображён на рисунке?

1) $y = -\frac{5}{x}$

2) $y = -\frac{1}{5x}$

3) $y = \frac{5}{x}$

4) $y = \frac{1}{5x}$

На рисунке изображён график функции вида $y = \frac{k}{x}$ (обратная пропорциональность), который называется гиперболой.

Ветви данной гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Это означает, что коэффициент пропорциональности $k$ является положительным числом ($k > 0$).

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

1) $y = -\frac{5}{x}$. Здесь $k = -5$. Так как $k < 0$, график этой функции должен располагаться во второй и четвертой четвертях. Этот вариант не подходит.

2) $y = -\frac{1}{5x}$. Здесь $k = -\frac{1}{5}$. Так как $k < 0$, этот вариант также не подходит.

3) $y = \frac{5}{x}$. Здесь $k = 5$. Так как $k > 0$, график этой функции располагается в первой и третьей четвертях. Этот вариант может быть правильным.

4) $y = \frac{1}{5x}$. Здесь $k = \frac{1}{5}$. Так как $k > 0$, график этой функции также располагается в первой и третьей четвертях. Этот вариант тоже может быть правильным.

Чтобы сделать выбор между вариантами 3) и 4), определим координаты любой точки, принадлежащей графику. Из рисунка видно, что график проходит через точку с координатами $(5; 1)$.

Теперь подставим координаты этой точки ($x=5, y=1$) в уравнения, оставшиеся для проверки:

Для функции 3) $y = \frac{5}{x}$:
$1 = \frac{5}{5}$
$1 = 1$
Получено верное равенство. Следовательно, эта функция подходит.

Для функции 4) $y = \frac{1}{5x}$:
$1 = \frac{1}{5 \cdot 5}$
$1 = \frac{1}{25}$
Получено неверное равенство. Следовательно, эта функция не подходит.

Таким образом, на рисунке изображён график функции $y = \frac{5}{x}$.

Ответ: 3

3. Дана функция $y = \frac{72}{x}$.

Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно $-6;$

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 9.

1) значение функции, если значение аргумента равно –6;

Чтобы найти значение функции $y$ при известном значении аргумента $x$, нужно подставить значение $x$ в формулу функции $y = \frac{72}{x}$.

Подставим $x = -6$ в уравнение:

$y = \frac{72}{-6}$

Выполним деление:

$y = -12$

Следовательно, при значении аргумента –6, значение функции равно –12.

Ответ: -12

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 9.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y$ принимает определённое значение, нужно подставить это значение $y$ в формулу функции и решить полученное уравнение относительно $x$.

Подставим $y = 9$ в уравнение $y = \frac{72}{x}$:

$9 = \frac{72}{x}$

Для того чтобы найти $x$, который является неизвестным делителем, нужно делимое (72) разделить на частное (9).

$x = \frac{72}{9}$

Выполним деление:

$x = 8$

Следовательно, значение функции равно 9 при значении аргумента 8.

Ответ: 8

4. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $B(8; -1,4)$.

График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку B(8; -1,4). Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции. Чтобы найти значение коэффициента $k$, нужно подставить координаты точки B в уравнение функции.

Координаты точки B: $x = 8$ и $y = -1,4$.

Подставим эти значения в уравнение $y = \frac{k}{x}$:

$-1,4 = \frac{k}{8}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$. Для этого умножим обе части уравнения на 8:

$k = -1,4 \cdot 8$

$k = -11,2$

Следовательно, при $k = -11,2$ график функции пройдет через заданную точку.

Ответ: -11,2

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, \text{ если } x < -1, \\ 1 - x, \text{ если } x \ge -1 \end{cases}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции, а затем определим, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ будет иметь с этим графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < -1 \\ 1-x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

График функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. При $x < -1$ функция задаётся формулой $f(x) = -\frac{2}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти (поскольку $x<0$ и $-2/x > 0$). Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика при $x \to -\infty$.
Найдём несколько точек для построения. Например, при $x=-2$, $y=1$; при $x=-4$, $y=0.5$.
На границе интервала, при $x=-1$, значение функции стремится к $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, 2)$ не принадлежит этой части графика, и на графике мы отметим её выколотой (пустым кружком).

2. При $x \ge -1$ функция задаётся формулой $f(x) = 1-x$. Графиком является луч.
Найдём координаты точек для построения этого луча. В начальной точке луча, при $x=-1$, имеем $y=1-(-1)=2$. Таким образом, точка $(-1, 2)$ принадлежит графику.
Возьмём ещё одну точку, например, при $x=1$, $y=1-1=0$. Прямая проходит через точки $(-1, 2)$ и $(1, 0)$.

3. Совместим обе части на одной координатной плоскости. Выколотая точка $(-1, 2)$ от гиперболы "закрывается" начальной точкой луча $(-1, 2)$. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=-1$. Точка $(-1, 2)$ является точкой максимума функции. График функции сначала возрастает на интервале $(-\infty, -1)$ от 0 до 2, а затем убывает на луче $[-1, \infty)$ от 2 до $-\infty$.

Определение значений $a$, при которых прямая $y=a$ имеет с графиком единственную общую точку

Прямая $y=a$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение $a$ на оси ординат. Количество общих точек этой прямой с графиком функции $f(x)$ зависит от положения прямой, то есть от значения $a$. Проанализируем это, используя построенный график.

• При $a > 2$: прямая $y=a$ проходит выше максимального значения функции, равного 2. Общих точек с графиком нет.
• При $a = 2$: прямая $y=2$ касается графика в его наивысшей точке $(-1, 2)$. Это единственная общая точка.
• При $0 < a < 2$: прямая $y=a$ пересекает и ветвь гиперболы, и луч. Таким образом, имеется две общие точки.
• При $a = 0$: прямая $y=0$ (ось $Ox$) пересекает луч $y=1-x$ в точке $(1, 0)$. Ветвь гиперболы $y = -2/x$ асимптотически приближается к оси $Ox$, но не пересекает её. Следовательно, имеется ровно одна общая точка.
• При $a < 0$: прямая $y=a$ пересекает только луч $y=1-x$, так как значения функции на ветви гиперболы всегда положительны. Следовательно, имеется ровно одна общая точка.

Таким образом, прямая $y=a$ имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку, если она проходит через точку максимума ($a=2$) или если она проходит на уровне оси абсцисс или ниже ($a \le 0$).

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{2\}$.