Страница 55 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Известно, что график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Через какую из данных точек при любых значениях $a$ и $b$ также проходит график функции $f$?

1) $A(2a; 2b)$

2) $B(a; -b)$

3) $C(-a; -b)$

4) $D(2a; 4b)$

По условию задачи, график функции $f(x) = x^2$ проходит через точку $M(a; b)$. Это означает, что координаты точки удовлетворяют уравнению функции. Если подставить в функцию $x=a$, то значение функции будет равно $b$.

Таким образом, мы имеем основное соотношение: $b = a^2$.

Теперь нам нужно проверить, какая из предложенных точек также будет принадлежать графику функции $f(x) = x^2$ при выполнении условия $b = a^2$. Для этого мы подставим координаты каждой точки в уравнение $y = x^2$ и проверим, выполняется ли равенство для любых $a$ и $b$, связанных соотношением $b = a^2$.

1) A(2a; 2b)

Подставляем координаты $x = 2a$ и $y = 2b$ в уравнение функции $y = x^2$:

$2b = (2a)^2$

$2b = 4a^2$

Теперь используем наше основное соотношение $b = a^2$ и подставляем его в полученное уравнение:

$2(a^2) = 4a^2$

$2a^2 = 4a^2$

Это равенство справедливо только в том случае, если $a = 0$ (и, соответственно, $b=0$). Поскольку оно должно выполняться для любых значений $a$ и $b$, удовлетворяющих исходному условию, этот вариант не является правильным.

2) B(a; -b)

Подставляем координаты $x = a$ и $y = -b$ в уравнение $y = x^2$:

$-b = a^2$

Используя $b = a^2$, получаем:

$-(a^2) = a^2$

$-a^2 = a^2$

Это равенство также справедливо только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) C(-a; -b)

Подставляем координаты $x = -a$ и $y = -b$ в уравнение $y = x^2$:

$-b = (-a)^2$

$-b = a^2$

Используя $b = a^2$, получаем:

$-(a^2) = a^2$

$-a^2 = a^2$

Это равенство справедливо только при $a = 0$. Следовательно, этот вариант не подходит.

4) D(2a; 4b)

Подставляем координаты $x = 2a$ и $y = 4b$ в уравнение $y = x^2$:

$4b = (2a)^2$

$4b = 4a^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$b = a^2$

Полученное равенство $b = a^2$ является исходным условием, которое выполняется для любой точки $M(a; b)$ на графике. Это означает, что равенство $4b = (2a)^2$ будет верным всегда, когда точка $M(a; b)$ лежит на графике. Таким образом, точка $D(2a; 4b)$ также всегда будет лежать на графике функции $f(x)=x^2$.

Ответ: 4) D(2a; 4b).

2. Укажите все значения аргумента, при которых значение функции $y = x^2$ равно 36.

1) 6

2) -6

3) -6 и 6

4) такие значения не существуют

По условию задачи, значение функции $y = x^2$ должно быть равно 36. Чтобы найти соответствующие значения аргумента $x$, нужно решить уравнение:

$x^2 = 36$

Это простейшее квадратное уравнение. Для его решения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{36}$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 6$

$x_2 = -6$

Таким образом, функция $y = x^2$ принимает значение 36 при двух значениях аргумента: $x = 6$ и $x = -6$. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту 3).

Ответ: -6 и 6

3. Решите графически уравнение $x^2 + x - 2 = 0$.

Для того чтобы решить уравнение $x^2 + x - 2 = 0$ графически, нужно построить график функции $y = x^2 + x - 2$ и найти абсциссы точек, в которых этот график пересекает ось Ox. Эти абсциссы и будут корнями исходного уравнения.

Графиком функции $y = x^2 + x - 2$ является парабола. Для ее построения определим ключевые параметры.

1. Направление ветвей

Коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=1$.

$x_v = -\\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$

Чтобы найти ординату вершины $y_v$, подставим значение $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-0.5, -2.25)$.

3. Точки для построения графика

Для более точного построения параболы найдем несколько точек, принадлежащих графику. Составим таблицу значений:

4. Анализ графика

Отметим на координатной плоскости вершину $(-0.5, -2.25)$ и точки из таблицы: $(-3, 4)$, $(-2, 0)$, $(-1, -2)$, $(0, -2)$, $(1, 0)$, $(2, 4)$. Соединим их плавной линией.

Полученная парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $y=0$. Из таблицы и графика видно, что это точки с координатами $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < -1 \text{ или } x > 1, \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1. \end{cases}$

1) Найдите $f(-0,5)$ и $f(1)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором:

a) $f(x) = -0,5$; б) $f(x) = 1$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

1) Чтобы найти значение функции в точке, нужно определить, какому из промежутков, указанных в условии, принадлежит аргумент.

Для $x = -0,5$ выполняется условие $-1 \le -0,5 \le 1$. Следовательно, значение функции вычисляется по формуле $f(x) = x^2$.
$f(-0,5) = (-0,5)^2 = 0,25$.

Для $x = 1$ выполняется условие $-1 \le 1 \le 1$. Следовательно, значение функции также вычисляется по формуле $f(x) = x^2$.
$f(1) = 1^2 = 1$.

Ответ: $f(-0,5) = 0,25$; $f(1) = 1$.

2) График данной функции состоит из двух частей.

Первая часть: на промежутке $[-1, 1]$ график функции $f(x) = x^2$ представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Крайние точки этого участка: $(-1, (-1)^2) = (-1, 1)$ и $(1, 1^2) = (1, 1)$. Эти точки включены в график.

Вторая часть: на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ график функции $f(x) = \frac{1}{x}$ представляет собой две ветви гиперболы.

• При $x > 1$ это ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Она начинается от точки $(1, 1)$ (сама точка не включается в эту часть, но она уже включена в график параболы, поэтому разрыва в точке $x=1$ нет) и убывает, асимптотически приближаясь к оси Ох. Например, точка $(2, 0.5)$ принадлежит этому графику.
• При $x < -1$ это ветвь гиперболы в третьей координатной четверти. Она асимптотически приближается к оси Ох при $x \to -\infty$ и приближается к точке $(-1, -1)$ при $x \to -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит графику (она "выколота"), так как $x \neq -1$. В точке $x=-1$ происходит разрыв.

Итоговый график представляет собой участок параболы между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ и две ветви гиперболы на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$.

3) Для нахождения значений аргумента по значению функции нужно найти абсциссы точек пересечения графика $y = f(x)$ с соответствующей горизонтальной прямой.

a) $f(x) = -0,5$.
Проведем прямую $y = -0,5$.
На промежутке $[-1, 1]$ функция $f(x) = x^2$ неотрицательна, поэтому пересечений с прямой $y = -0,5$ нет.
На промежутке $(1, \infty)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ положительна, поэтому пересечений также нет.
На промежутке $(-\infty, -1)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ отрицательна. Найдем точку пересечения, решив уравнение:
$\frac{1}{x} = -0,5$
$x = \frac{1}{-0,5} = -2$
Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x < -1$.
Ответ: $x = -2$.

б) $f(x) = 1$.
Проведем прямую $y = 1$.
На промежутке $[-1, 1]$ ищем пересечение с параболой $y = x^2$:
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Оба значения входят в промежуток $[-1, 1]$.
На промежутках $x < -1$ или $x > 1$ ищем пересечение с гиперболой $y = \frac{1}{x}$:
$\frac{1}{x} = 1$
$x = 1$. Это значение не входит в рассматриваемые промежутки $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Таким образом, есть два значения аргумента.
Ответ: $x = -1; x = 1$.

4) Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции $f$. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от $a$, двигая прямую $y=a$ снизу вверх.

• При $a < -1$: пересечений нет.
• При $a = -1$: пересечений нет, так как точка $(-1, -1)$ выколота.
• При $-1 < a < 0$: прямая пересекает только одну ветвь гиперболы ($f(x) = \frac{1}{x}$ при $x < -1$). Уравнение $\frac{1}{x} = a$ имеет один корень $x = \frac{1}{a}$, который удовлетворяет условию $x < -1$. Таким образом, здесь одна общая точка.
• При $a = 0$: прямая пересекает параболу $y = x^2$ в ее вершине $(0, 0)$. Уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x=0$. С гиперболой пересечений нет. Таким образом, здесь одна общая точка.
• При $0 < a < 1$: прямая пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках (с абсциссами $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$) и ветвь гиперболы $y=\frac{1}{x}$ (при $x>1$) в одной точке (с абсциссой $x = \frac{1}{a} > 1$). Всего три точки пересечения.
• При $a = 1$: прямая пересекает график в двух точках: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
• При $a > 1$: пересечений нет.

Итак, прямая $y = a$ имеет с графиком функции $f$ единственную общую точку при $a=0$ и при $-1 < a < 0$. Объединяя эти условия, получаем промежуток $(-1, 0]$.
Ответ: $a \in (-1, 0]$.