Страница 62 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неверное утверждение.

1) $5 \in \mathbb{Q}$

2) $479 \in \mathbb{R}$

3) $0,2 \in \mathbb{Z}$

4) $2 \in \mathbb{N}$

Для того чтобы определить, какое из утверждений является неверным, необходимо проанализировать каждое из них, основываясь на определениях числовых множеств.

• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Это числа, используемые при счете: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. Оно включает натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$).
• $\mathbb{R}$ — множество действительных (вещественных) чисел. Оно включает в себя все рациональные и иррациональные числа.

Теперь проверим истинность каждого утверждения:

1) $5 \in \mathbb{Q}$

Утверждение гласит, что 5 является рациональным числом. Любое целое число, в том числе и 5, можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $5 = \frac{5}{1}$. Так как это представление соответствует определению рационального числа, утверждение является верным.

2) $479 \in \mathbb{R}$

Утверждение гласит, что 479 является действительным числом. Число 479 — натуральное, а множество натуральных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$). Следовательно, утверждение является верным.

3) $0,2 \in \mathbb{Z}$

Утверждение гласит, что 0,2 является целым числом. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ не содержит дробных чисел. Число 0,2 — это десятичная дробь, равная $\frac{1}{5}$. Оно не является целым. Следовательно, утверждение является неверным.

4) $2 \in \mathbb{N}$

Утверждение гласит, что 2 является натуральным числом. Множество натуральных чисел ($\{1, 2, 3, ...\}$) содержит число 2. Следовательно, утверждение является верным.

Таким образом, единственное неверное утверждение — это утверждение под номером 3.

Ответ: 3

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{3600}$

2) $\sqrt{0,36}$

3) $\sqrt{36}$

4) $\sqrt{3,6}$

Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. В десятичной записи иррациональные числа представляются в виде бесконечных непериодических дробей. Корень квадратный из положительного числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является квадратом рационального числа (так называемым "полным квадратом"). Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{3600}$
Подкоренное выражение 3600 является полным квадратом, так как $3600 = 60 \times 60 = 60^2$.
Следовательно, $\sqrt{3600} = \sqrt{60^2} = 60$.
Число 60 является целым, а любое целое число является рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{60}{1}$).
Ответ: $\sqrt{3600}$ — рациональное число.

2) $\sqrt{0,36}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,36 = \frac{36}{100}$.
Числитель 36 ($6^2$) и знаменатель 100 ($10^2$) являются полными квадратами.
$\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Число 0,6 является конечной десятичной дробью, следовательно, это рациональное число.
Ответ: $\sqrt{0,36}$ — рациональное число.

3) $\sqrt{36}$
Подкоренное выражение 36 является полным квадратом, так как $36 = 6^2$.
Следовательно, $\sqrt{36} = 6$.
Число 6 является целым и, соответственно, рациональным.
Ответ: $\sqrt{36}$ — рациональное число.

4) $\sqrt{3,6}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $3,6 = \frac{36}{10}$.
Тогда $\sqrt{3,6} = \sqrt{\frac{36}{10}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$.
Число 10 не является полным квадратом какого-либо целого числа (так как $3^2 = 9$, а $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число.
Результатом деления рационального числа (6) на иррациональное число ($\sqrt{10}$) является иррациональное число.
Ответ: $\sqrt{3,6}$ — иррациональное число.

Таким образом, единственным иррациональным числом из предложенных является $\sqrt{3,6}$.

3. Пусть $A$ — множество цифр числа 65 022, $B$ — множество цифр числа 13 662.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество $A$ и множество $B$.

2) Найдите пересечение множеств $A$ и $B$.

3) Найдите объединение множеств $A$ и $B$.

4) Запишите все трёхэлементные подмножества множества $A$.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество А и множество В.

Множество состоит из уникальных элементов. Чтобы задать множество А, мы должны перечислить все неповторяющиеся цифры числа 65 022. Это цифры 0, 2, 5, 6. Запишем их в порядке возрастания.

$A = \{0, 2, 5, 6\}$

Чтобы задать множество В, мы должны перечислить все неповторяющиеся цифры числа 13 662. Это цифры 1, 2, 3, 6. Запишем их в порядке возрастания.

$B = \{1, 2, 3, 6\}$

Ответ: $A = \{0, 2, 5, 6\}$; $B = \{1, 2, 3, 6\}$.

2) Найдите пересечение множеств А и В.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, которое содержит только те элементы, которые есть одновременно и в множестве A, и в множестве B.

Сравним элементы множеств $A = \{0, 2, 5, 6\}$ и $B = \{1, 2, 3, 6\}$.

Общими элементами для обоих множеств являются цифры 2 и 6.

Ответ: $A \cap B = \{2, 6\}$.

3) Найдите объединение множеств А и В.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, которое содержит все элементы, входящие хотя бы в одно из множеств (A или B), без повторений.

Возьмем все элементы из множества A: $\{0, 2, 5, 6\}$. Добавим к ним те элементы из множества B, которых еще нет: 1 и 3. Полученное множество запишем в порядке возрастания.

Ответ: $A \cup B = \{0, 1, 2, 3, 5, 6\}$.

4) Запишите все трёхэлементные подмножества множества А.

Множество $A = \{0, 2, 5, 6\}$ содержит 4 элемента. Нам нужно составить все возможные подмножества, состоящие из 3 элементов.

Для этого можно поочередно исключать из множества A по одному элементу:

1. Исключаем элемент 6: получаем подмножество $\{0, 2, 5\}$.

2. Исключаем элемент 5: получаем подмножество $\{0, 2, 6\}$.

3. Исключаем элемент 2: получаем подмножество $\{0, 5, 6\}$.

4. Исключаем элемент 0: получаем подмножество $\{2, 5, 6\}$.

Таким образом, мы получили 4 трёхэлементных подмножества.

Ответ: $\{0, 2, 5\}$, $\{0, 2, 6\}$, $\{0, 5, 6\}$, $\{2, 5, 6\}$.

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $\sqrt{x-3} = -2;$

2) $x^2 + 6x = 0;$

3) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0.$

1) $\sqrt{x-3} = -2$

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это значит, что левая часть уравнения, $\sqrt{x-3}$, не может быть отрицательной. Правая часть уравнения равна -2. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Множество корней является пустым.

Ответ: $\emptyset$

2) $x^2 + 6x = 0$

Для решения этого неполного квадратного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x = 0$

или

$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$

Таким образом, множество корней уравнения состоит из двух элементов: -6 и 0.

Ответ: $\{-6, 0\}$

3) $\frac{x^2 - 36}{x^2 + 6x} = 0$

Дробное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x^2 + 6x \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение из первого условия:

$x^2 - 36 = 0$

$x^2 = 36$

$x = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию (области допустимых значений). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 + 6x \neq 0$

$x(x+6) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -6$.

Сравнивая потенциальные корни с ограничениями, мы видим, что $x = -6$ не является корнем уравнения, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень $x = 6$ удовлетворяет всем условиям.

Следовательно, множество корней уравнения состоит из одного элемента.

Ответ: $\{6\}$

5. Сравните числа:

1) $0,93$ и $\frac{14}{15}$;

2) $-9,(21)$ и $-9,(22)$.

1)

Чтобы сравнить десятичную дробь 0,93 и обыкновенную дробь $\frac{14}{15}$, приведем их к одному виду. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной и затем приведем обе дроби к общему знаменателю.

Представим 0,93 в виде обыкновенной дроби: $0,93 = \frac{93}{100}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби: $\frac{93}{100}$ и $\frac{14}{15}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 100 и 15. Разложим их на простые множители:

$100 = 2^2 \cdot 5^2$

$15 = 3 \cdot 5$

Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел будет: $НОК(100, 15) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 3 = 4 \cdot 25 \cdot 3 = 300$.

Приведем дроби к знаменателю 300. Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $\frac{93}{100}$ дополнительный множитель равен $300 \div 100 = 3$.

$\frac{93}{100} = \frac{93 \cdot 3}{100 \cdot 3} = \frac{279}{300}$

Для дроби $\frac{14}{15}$ дополнительный множитель равен $300 \div 15 = 20$.

$\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 20}{15 \cdot 20} = \frac{280}{300}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{279}{300}$ и $\frac{280}{300}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Поскольку $279 < 280$, то и $\frac{279}{300} < \frac{280}{300}$.

Следовательно, $0,93 < \frac{14}{15}$.

Ответ: $0,93 < \frac{14}{15}$.

2)

Необходимо сравнить два отрицательных периодических числа: $-9,(21)$ и $-9,(22)$.

Запишем эти числа в развернутом виде:

$-9,(21) = -9,212121...$

$-9,(22) = -9,222222...$

Для сравнения отрицательных чисел используется следующее правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сначала сравним модули (абсолютные величины) этих чисел: $|-9,(21)| = 9,(21)$ и $|-9,(22)| = 9,(22)$.

Сравнение положительных периодических дробей $9,212121...$ и $9,222222...$ производится поразрядно слева направо до первого несовпадения.

Целые части у чисел одинаковы и равны 9.

Цифры в разряде десятых также одинаковы и равны 2.

Цифры в разряде сотых различаются: у первого числа это 1, а у второго — 2.

Так как $1 < 2$, то $9,212121... < 9,222222...$, а значит $9,(21) < 9,(22)$.

Итак, модуль первого числа меньше модуля второго: $|-9,(21)| < |-9,(22)|$.

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число $-9,(21)$ больше, чем число $-9,(22)$.

Ответ: $-9,(21) > -9,(22)$.