Номер 5, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сравните числа:

1) $0,93$ и $\frac{14}{15}$;

2) $-9,(21)$ и $-9,(22)$.

1)

Чтобы сравнить десятичную дробь 0,93 и обыкновенную дробь $\frac{14}{15}$, приведем их к одному виду. Для этого представим десятичную дробь в виде обыкновенной и затем приведем обе дроби к общему знаменателю.

Представим 0,93 в виде обыкновенной дроби: $0,93 = \frac{93}{100}$.

Теперь нам нужно сравнить две дроби: $\frac{93}{100}$ и $\frac{14}{15}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 100 и 15. Разложим их на простые множители:

$100 = 2^2 \cdot 5^2$

$15 = 3 \cdot 5$

Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел будет: $НОК(100, 15) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 3 = 4 \cdot 25 \cdot 3 = 300$.

Приведем дроби к знаменателю 300. Для этого найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $\frac{93}{100}$ дополнительный множитель равен $300 \div 100 = 3$.

$\frac{93}{100} = \frac{93 \cdot 3}{100 \cdot 3} = \frac{279}{300}$

Для дроби $\frac{14}{15}$ дополнительный множитель равен $300 \div 15 = 20$.

$\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 20}{15 \cdot 20} = \frac{280}{300}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{279}{300}$ и $\frac{280}{300}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Поскольку $279 < 280$, то и $\frac{279}{300} < \frac{280}{300}$.

Следовательно, $0,93 < \frac{14}{15}$.

Ответ: $0,93 < \frac{14}{15}$.

2)

Необходимо сравнить два отрицательных периодических числа: $-9,(21)$ и $-9,(22)$.

Запишем эти числа в развернутом виде:

$-9,(21) = -9,212121...$

$-9,(22) = -9,222222...$

Для сравнения отрицательных чисел используется следующее правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сначала сравним модули (абсолютные величины) этих чисел: $|-9,(21)| = 9,(21)$ и $|-9,(22)| = 9,(22)$.

Сравнение положительных периодических дробей $9,212121...$ и $9,222222...$ производится поразрядно слева направо до первого несовпадения.

Целые части у чисел одинаковы и равны 9.

Цифры в разряде десятых также одинаковы и равны 2.

Цифры в разряде сотых различаются: у первого числа это 1, а у второго — 2.

Так как $1 < 2$, то $9,212121... < 9,222222...$, а значит $9,(21) < 9,(22)$.

Итак, модуль первого числа меньше модуля второго: $|-9,(21)| < |-9,(22)|$.

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число $-9,(21)$ больше, чем число $-9,(22)$.

Ответ: $-9,(21) > -9,(22)$.