Номер 2, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{490}$

2) $\sqrt{4900}$

3) $\sqrt{0,49}$

4) $\sqrt{49}$

Чтобы определить, какое из данных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя. В случае с квадратными корнями, корень из числа будет рациональным, если подкоренное выражение является квадратом рационального числа (полным квадратом).

Рассмотрим каждый вариант:

1) $\sqrt{490}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $490 = 49 \cdot 10 = 7^2 \cdot 10$. Так как 10 не является полным квадратом какого-либо целого числа, то $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Мы можем записать $\sqrt{490} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = 7\sqrt{10}$. Произведение рационального числа (7) на иррациональное ($\sqrt{10}$) является иррациональным числом. Следовательно, $\sqrt{490}$ — иррациональное число.

2) $\sqrt{4900}$

Подкоренное выражение $4900$ можно представить как $49 \cdot 100$. Оба множителя являются полными квадратами: $49=7^2$ и $100=10^2$. Тогда $\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{7^2 \cdot 10^2} = \sqrt{(7 \cdot 10)^2} = \sqrt{70^2} = 70$. Число $70$ является целым, а значит и рациональным.

3) $\sqrt{0,49}$

Представим десятичную дробь $0,49$ в виде обыкновенной дроби: $0,49 = \frac{49}{100}$. Тогда корень можно записать как $\sqrt{\frac{49}{100}}$. Используя свойство корня из дроби, получаем: $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$. Число $0,7$ является конечной десятичной дробью, следовательно, оно рациональное.

4) $\sqrt{49}$

Подкоренное выражение $49$ является полным квадратом числа $7$, так как $7^2=49$. Поэтому $\sqrt{49} = 7$. Число $7$ является целым, а значит и рациональным.

Из всех предложенных вариантов только $\sqrt{490}$ является иррациональным числом.

Ответ: 1.