Номер 4, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $(x^2 - 64)(x^2 - 8x) = 0;$

2) $\sqrt{x^2 - 64} + \sqrt{x^2 - 8x} = 0;$

3) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} = 0.$

1) Уравнение $(x^2 - 64)(x^2 - 8x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x^2 - 64 = 0$ или $x^2 - 8x = 0$.

Решим первое уравнение:

$x^2 - 64 = 0$

$x^2 = 64$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$.

Решим второе уравнение:

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

$x_3 = 0$ или $x - 8 = 0$, откуда $x_4 = 8$.

Объединив все найденные уникальные корни, получим множество корней исходного уравнения.

Ответ: $\{-8, 0, 8\}$.

2) Уравнение $\sqrt{x^2 - 64} + \sqrt{x^2 - 8x} = 0$.

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 64} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 8x} = 0 \end{cases}$

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим равносильную систему:

$\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ x^2 - 8x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корни: $x^2 = 64 \implies x = 8$ или $x = -8$.

Из второго уравнения находим корни: $x(x - 8) = 0 \implies x = 0$ или $x = 8$.

Решением системы является значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Единственным общим корнем является $x=8$.

Ответ: $\{8\}$.

3) Уравнение $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x + 4} = 0 \\ \sqrt{4 - x} = 0 \end{cases}$

Что равносильно системе:

$\begin{cases} x + 4 = 0 \\ 4 - x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = -4$.

Из второго уравнения следует, что $x = 4$.

Поскольку переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения ($-4$ и $4$), данная система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$.