Номер 5, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1,44p^6}$, если $p \ge 0$;

2) $\sqrt{a^8b^{10}c^{14}}$, если $b \le 0, c \ge 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{1,44p^6} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения и степени.

Сначала представим подкоренное выражение в виде произведения: $ \sqrt{1,44 \cdot p^6} = \sqrt{1,44} \cdot \sqrt{p^6} $.

Вычислим корень из числового множителя: $ \sqrt{1,44} = 1,2 $.

Теперь упростим корень из переменной. Используем свойство $ \sqrt{x^{2n}} = |x^n| $. В нашем случае $ p^6 = (p^3)^2 $.

Следовательно, $ \sqrt{p^6} = \sqrt{(p^3)^2} = |p^3| $.

Исходное выражение равно $ 1,2 \cdot |p^3| $.

По условию задачи дано, что $ p \ge 0 $. Если $ p $ — неотрицательное число, то его степень $ p^3 $ также будет неотрицательной ($ p^3 \ge 0 $). По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $ |p^3| = p^3 $.

Окончательно получаем:

$ 1,2 \cdot p^3 = 1,2p^3 $.

Ответ: $ 1,2p^3 $

2) Упростим выражение $ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} $, учитывая условия $ b \le 0 $ и $ c \ge 0 $.

Разложим корень из произведения на произведение корней:

$ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{c^{14}} $.

Упростим каждый множитель отдельно, используя свойство $ \sqrt{x^{2n}} = |x^n| $:

$ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| $

$ \sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5| $

$ \sqrt{c^{14}} = \sqrt{(c^7)^2} = |c^7| $

Теперь раскроем модули с учетом заданных условий и свойств степеней.

Для $ a $: выражение $ a^4 $ всегда неотрицательно при любом значении $ a $, так как любая переменная в четной степени дает неотрицательный результат. Поэтому $ |a^4| = a^4 $.

Для $ b $: по условию $ b \le 0 $. Если $ b $ — неположительное число, то его нечетная степень $ b^5 $ также будет неположительной ($ b^5 \le 0 $). По определению модуля, $ |b^5| = -b^5 $.

Для $ c $: по условию $ c \ge 0 $. Если $ c $ — неотрицательное число, то его нечетная степень $ c^7 $ также будет неотрицательной ($ c^7 \ge 0 $). Поэтому $ |c^7| = c^7 $.

Объединим полученные результаты:

$ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} = |a^4| \cdot |b^5| \cdot |c^7| = a^4 \cdot (-b^5) \cdot c^7 = -a^4b^5c^7 $.

Ответ: $ -a^4b^5c^7 $