Номер 5, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сравните числа:

1) $\frac{37}{9}$ и $4,115$;

2) $-3,(23)$ и $-3,23$.

1) Для того чтобы сравнить числа $\frac{37}{9}$ и $4,115$, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого необходимо разделить числитель на знаменатель.

$37 \div 9 = 4,111...$

Мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь, которую можно записать как $4,(1)$.

Теперь сравним две десятичные дроби: $4,(1)$ и $4,115$. Запишем их друг под другом, чтобы было удобнее сравнивать по разрядам:

$4,1111...$

$4,1150...$

Начинаем сравнение с самого старшего разряда (слева направо):

• Целые части равны: $4 = 4$.
• Цифры в разряде десятых равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотых равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: $1 < 5$.

Поскольку в первом же различающемся разряде цифра у первого числа меньше, чем у второго, то и само первое число меньше второго: $4,(1) < 4,115$.

Следовательно, $\frac{37}{9} < 4,115$.

Ответ: $\frac{37}{9} < 4,115$.

2) Необходимо сравнить два отрицательных числа: $-3,(23)$ и $-3,23$.

Число $-3,(23)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, равная $-3,232323...$.

Число $-3,23$ — это конечная десятичная дробь.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сначала сравним модули данных чисел: $|-3,(23)| = 3,(23)$ и $|-3,23| = 3,23$.

Запишем их в развернутом виде для поразрядного сравнения:

$3,(23) = 3,2323...$

$3,23 = 3,2300...$

• Целые части равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде десятых равны: $2 = 2$.
• Цифры в разряде сотых равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: $2 > 0$.

Так как в первом различающемся разряде цифра у первого числа больше, то $3,2323... > 3,2300...$, а значит $3,(23) > 3,23$.

Мы выяснили, что $|-3,(23)| > |-3,23|$. Согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число с большим модулем будет меньше. Таким образом, $-3,(23) < -3,23$.

Ответ: $-3,(23) < -3,23$.