Номер 3, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Вычислите:

1) $\sqrt{(-7)^2}$;

2) $\sqrt{1\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{1\frac{12}{13}};$

3) $\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}}.$

1) Для вычисления выражения $\sqrt{(-7)^2}$ необходимо сначала выполнить возведение в квадрат подкоренного выражения, а затем извлечь квадратный корень.
Возводим в квадрат число -7: $(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$.
Теперь извлекаем квадратный корень из полученного числа: $\sqrt{49} = 7$.
Альтернативно, можно использовать тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя его, получаем: $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$.
Ответ: 7

2) Для вычисления произведения $\sqrt{1\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{1\frac{12}{13}}$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$.
$1\frac{12}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 12}{13} = \frac{25}{13}$.
Теперь воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и подставим полученные дроби:
$\sqrt{\frac{13}{9}} \cdot \sqrt{\frac{25}{13}} = \sqrt{\frac{13}{9} \cdot \frac{25}{13}}$.
Выполним умножение под корнем, сократив множитель 13 в числителе и знаменателе:
$\sqrt{\frac{13 \cdot 25}{9 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{25}{9}}$.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$.
Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$

3) Для вычисления частного $\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{252}{7}}$.
Выполним деление в столбик или устно, чтобы найти значение подкоренного выражения: $252 : 7 = 36$.
Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt{36}$.
Извлекаем квадратный корень из 36: $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6