Страница 65 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\sqrt{5^2 \cdot 2^6}$?

1) 20

2) 80

3) 40

4) 100

1. Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5^2 \cdot 2^6}$, воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней.

Свойство корня из произведения позволяет нам записать выражение следующим образом: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Применим это свойство к исходному выражению:

$\sqrt{5^2 \cdot 2^6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{2^6}$

Теперь упростим каждый множитель отдельно. Используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для неотрицательных $a$.

Для первого множителя:

$\sqrt{5^2} = 5^1 = 5$

Для второго множителя, заметим, что $6 = 2 \cdot 3$:

$\sqrt{2^6} = \sqrt{2^{2 \cdot 3}} = 2^3 = 8$

Теперь осталось перемножить полученные результаты:

$5 \cdot 8 = 40$

Таким образом, значение выражения равно 40, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 40

2. Укажите значение выражения $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

1) 2 2) 3 3) 4 4) 6

Для решения данного примера воспользуемся свойствами квадратных корней: произведение корней равно корню из произведения их подкоренных выражений ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$), а частное корней равно корню из частного их подкоренных выражений ($\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$).

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Сначала выполним умножение в числителе:

$\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

Далее выполним деление:

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{4} = 2$

Также можно было объединить все действия под одним знаком корня:

$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

Полученное значение 2 соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 2

3. Вычислите:

1) $\sqrt{(-7)^2}$;

2) $\sqrt{1\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{1\frac{12}{13}};$

3) $\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}}.$

1) Для вычисления выражения $\sqrt{(-7)^2}$ необходимо сначала выполнить возведение в квадрат подкоренного выражения, а затем извлечь квадратный корень.
Возводим в квадрат число -7: $(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$.
Теперь извлекаем квадратный корень из полученного числа: $\sqrt{49} = 7$.
Альтернативно, можно использовать тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя его, получаем: $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$.
Ответ: 7

2) Для вычисления произведения $\sqrt{1\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{1\frac{12}{13}}$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$.
$1\frac{12}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 12}{13} = \frac{25}{13}$.
Теперь воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и подставим полученные дроби:
$\sqrt{\frac{13}{9}} \cdot \sqrt{\frac{25}{13}} = \sqrt{\frac{13}{9} \cdot \frac{25}{13}}$.
Выполним умножение под корнем, сократив множитель 13 в числителе и знаменателе:
$\sqrt{\frac{13 \cdot 25}{9 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{25}{9}}$.
Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$.
Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$

3) Для вычисления частного $\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}}$ воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{252}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{252}{7}}$.
Выполним деление в столбик или устно, чтобы найти значение подкоренного выражения: $252 : 7 = 36$.
Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt{36}$.
Извлекаем квадратный корень из 36: $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

4. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{82^2 - 18^2}$;

2) $\sqrt{48 \cdot 27}$.

1) $\sqrt{82^2 - 18^2}$

Подкоренное выражение $82^2 - 18^2$ является разностью квадратов. Для его преобразования воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$82^2 - 18^2 = (82 - 18)(82 + 18) = 64 \cdot 100$.

Теперь, согласно условию задачи, представим каждый множитель в виде квадрата рационального числа:
$64 = 8^2$
$100 = 10^2$
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов: $8^2 \cdot 10^2$.

Вычислим значение исходного выражения:
$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{8^2 \cdot 10^2} = \sqrt{(8 \cdot 10)^2} = \sqrt{80^2} = 80$.

Ответ: 80

2) $\sqrt{48 \cdot 27}$

Чтобы представить подкоренное выражение $48 \cdot 27$ в виде произведения квадратов, разложим числа 48 и 27 на множители таким образом, чтобы выделить полные квадраты.
$48 \cdot 27 = (16 \cdot 3) \cdot 27 = 16 \cdot (3 \cdot 27) = 16 \cdot 81$.

Теперь представим множители 16 и 81 в виде квадратов рациональных чисел:
$16 = 4^2$
$81 = 9^2$
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов: $4^2 \cdot 9^2$.

Вычислим значение корня:
$\sqrt{48 \cdot 27} = \sqrt{16 \cdot 81} = \sqrt{4^2 \cdot 9^2} = \sqrt{(4 \cdot 9)^2} = \sqrt{36^2} = 36$.

Ответ: 36

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1,44p^6}$, если $p \ge 0$;

2) $\sqrt{a^8b^{10}c^{14}}$, если $b \le 0, c \ge 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{1,44p^6} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения и степени.

Сначала представим подкоренное выражение в виде произведения: $ \sqrt{1,44 \cdot p^6} = \sqrt{1,44} \cdot \sqrt{p^6} $.

Вычислим корень из числового множителя: $ \sqrt{1,44} = 1,2 $.

Теперь упростим корень из переменной. Используем свойство $ \sqrt{x^{2n}} = |x^n| $. В нашем случае $ p^6 = (p^3)^2 $.

Следовательно, $ \sqrt{p^6} = \sqrt{(p^3)^2} = |p^3| $.

Исходное выражение равно $ 1,2 \cdot |p^3| $.

По условию задачи дано, что $ p \ge 0 $. Если $ p $ — неотрицательное число, то его степень $ p^3 $ также будет неотрицательной ($ p^3 \ge 0 $). По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $ |p^3| = p^3 $.

Окончательно получаем:

$ 1,2 \cdot p^3 = 1,2p^3 $.

Ответ: $ 1,2p^3 $

2) Упростим выражение $ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} $, учитывая условия $ b \le 0 $ и $ c \ge 0 $.

Разложим корень из произведения на произведение корней:

$ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{c^{14}} $.

Упростим каждый множитель отдельно, используя свойство $ \sqrt{x^{2n}} = |x^n| $:

$ \sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4| $

$ \sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5| $

$ \sqrt{c^{14}} = \sqrt{(c^7)^2} = |c^7| $

Теперь раскроем модули с учетом заданных условий и свойств степеней.

Для $ a $: выражение $ a^4 $ всегда неотрицательно при любом значении $ a $, так как любая переменная в четной степени дает неотрицательный результат. Поэтому $ |a^4| = a^4 $.

Для $ b $: по условию $ b \le 0 $. Если $ b $ — неположительное число, то его нечетная степень $ b^5 $ также будет неположительной ($ b^5 \le 0 $). По определению модуля, $ |b^5| = -b^5 $.

Для $ c $: по условию $ c \ge 0 $. Если $ c $ — неотрицательное число, то его нечетная степень $ c^7 $ также будет неотрицательной ($ c^7 \ge 0 $). Поэтому $ |c^7| = c^7 $.

Объединим полученные результаты:

$ \sqrt{a^8b^{10}c^{14}} = |a^4| \cdot |b^5| \cdot |c^7| = a^4 \cdot (-b^5) \cdot c^7 = -a^4b^5c^7 $.

Ответ: $ -a^4b^5c^7 $

6. Постройте график функции $y = 2\sqrt{x^2 - 3}$, если $x \leq 0$.

Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x^2} - 3$ при $x \le 0$ выполним следующие преобразования и построения.

1. Упрощение выражения функции

Воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив его, получим функцию в виде:

$y = 2|x| - 3$.

2. Раскрытие модуля с учетом условия

Согласно условию задачи, переменная $x$ принимает значения $x \le 0$. По определению модуля, при $x \le 0$ имеем $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = 2(-x) - 3$

$y = -2x - 3$.

3. Построение графика

Функция $y = -2x - 3$ является линейной, её график — прямая линия. Однако, из-за ограничения $x \le 0$, мы строим не всю прямую, а только её часть — луч, который начинается на оси $Oy$ (при $x=0$) и уходит влево.

Для построения луча достаточно найти координаты двух точек.

Найдем начальную точку луча (при $x=0$):

$y(0) = -2(0) - 3 = -3$.

Таким образом, начало луча находится в точке с координатами $(0, -3)$.

Найдем вторую точку, выбрав произвольное значение $x < 0$, например, $x=-2$:

$y(-2) = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, луч проходит через точку с координатами $(-2, 1)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости точки $(0, -3)$ и $(-2, 1)$ и проводим через них луч, начинающийся в точке $(0, -3)$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x^2} - 3$ при $x \le 0$ — это луч, являющийся частью прямой $y = -2x - 3$, с началом в точке $(0, -3)$ и проходящий через точку $(-2, 1)$.