Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите выражение, тождественно равное выражению $0,6\sqrt{625a} - 1,5\sqrt{196a} + \frac{4}{9}\sqrt{324a}$.

1) $2a$

2) $44a$

3) $2\sqrt{a}$

4) $44\sqrt{a}$

Чтобы найти тождественно равное выражение, необходимо упростить исходное выражение $0,6\sqrt{625a} - 1,5\sqrt{196a} + \frac{4}{9}\sqrt{324a}$. Для этого упростим каждый член выражения по отдельности, вынеся числовые множители из-под знака корня. При этом мы исходим из того, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

1. Упростим первый член $0,6\sqrt{625a}$.
Используем свойство $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
$0,6\sqrt{625a} = 0,6 \cdot \sqrt{625} \cdot \sqrt{a}$.
Поскольку $\sqrt{625} = 25$, получаем:
$0,6 \cdot 25 \cdot \sqrt{a} = 15\sqrt{a}$.

2. Упростим второй член $-1,5\sqrt{196a}$.
Поскольку $\sqrt{196} = 14$, получаем:
$-1,5\sqrt{196a} = -1,5 \cdot \sqrt{196} \cdot \sqrt{a} = -1,5 \cdot 14 \cdot \sqrt{a} = -21\sqrt{a}$.

3. Упростим третий член $\frac{4}{9}\sqrt{324a}$.
Поскольку $\sqrt{324} = 18$, получаем:
$\frac{4}{9}\sqrt{324a} = \frac{4}{9} \cdot \sqrt{324} \cdot \sqrt{a} = \frac{4}{9} \cdot 18 \cdot \sqrt{a} = 4 \cdot \frac{18}{9} \cdot \sqrt{a} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые, у которых общим множителем является $\sqrt{a}$: $15\sqrt{a} - 21\sqrt{a} + 8\sqrt{a} = (15 - 21 + 8)\sqrt{a}$.

Выполним действия с коэффициентами в скобках:
$15 - 21 + 8 = -6 + 8 = 2$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $2\sqrt{a}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 3).

Ответ: 3

2. Чему равно значение выражения $(3\sqrt{2}-1)^2 + \sqrt{72}$?

1) $19-6\sqrt{2}$

2) $17-6\sqrt{2}$

3) $17$

4) $19$

Чтобы найти значение выражения $(3\sqrt{2}-1)^2 + \sqrt{72}$, выполним действия поочередно для каждого слагаемого, а затем сложим результаты.

Сначала раскроем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3\sqrt{2}-1)^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

$2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 1 = 6\sqrt{2}$

$1^2 = 1$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$18 - 6\sqrt{2} + 1 = 19 - 6\sqrt{2}$

Теперь упростим второе слагаемое $\sqrt{72}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня, представив 72 как произведение $36 \cdot 2$:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Наконец, сложим полученные результаты:

$(19 - 6\sqrt{2}) + 6\sqrt{2}$

Слагаемые $-6\sqrt{2}$ и $6\sqrt{2}$ являются противоположными и в сумме дают ноль, поэтому они взаимно уничтожаются:

$19 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 19$

Таким образом, значение всего выражения равно 19. Это соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 19.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-a^{31}};$

2) $\sqrt{16xy^{22}},$ если $y < 0;$

3) $\sqrt{x^{27}y^{27}},$ если $x \le 0, y \le 0.$

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{-a^{31}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{31} \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $a^{31} \le 0$.

Так как 31 — нечетная степень, это неравенство выполняется только при $a \le 0$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение, чтобы выделить множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{-a^{31}} = \sqrt{-a \cdot a^{30}} = \sqrt{(-a) \cdot (a^{15})^2}$.

Так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$. Выражение $(a^{15})^2$ также неотрицательно. Мы можем применить свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$).

$\sqrt{(-a) \cdot (a^{15})^2} = \sqrt{(a^{15})^2} \cdot \sqrt{-a}$.

Используем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$:

$\sqrt{(a^{15})^2} = |a^{15}|$.

Поскольку $a \le 0$, то его нечетная степень $a^{15}$ также будет меньше или равна нулю ($a^{15} \le 0$). Следовательно, модуль этого выражения равен ему с противоположным знаком: $|a^{15}| = -a^{15}$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{-a^{31}} = -a^{15}\sqrt{-a}$.

Ответ: $-a^{15}\sqrt{-a}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{16xy^{22}}$ при условии $y < 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $16xy^{22} \ge 0$.

Так как $16 > 0$ и $y^{22} = (y^{11})^2 \ge 0$ для любого $y$ (при $y<0$, $y^{22}>0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители и вынесем те, из которых можно извлечь корень:

$\sqrt{16xy^{22}} = \sqrt{16 \cdot y^{22} \cdot x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^{22}} \cdot \sqrt{x}$.

Вычислим корни из известных множителей:

$\sqrt{16} = 4$.

$\sqrt{y^{22}} = \sqrt{(y^{11})^2} = |y^{11}|$.

По условию $y < 0$. Так как 11 — нечетное число, то $y^{11}$ также будет отрицательным ($y^{11} < 0$).

Следовательно, модуль этого выражения раскрывается со знаком минус: $|y^{11}| = -y^{11}$.

Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$\sqrt{16xy^{22}} = 4 \cdot (-y^{11}) \cdot \sqrt{x} = -4y^{11}\sqrt{x}$.

Ответ: $-4y^{11}\sqrt{x}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{27}y^{27}}$ при условиях $x \le 0$ и $y \le 0$.

Сначала проверим, что подкоренное выражение неотрицательно. Используем свойство степеней: $x^{27}y^{27} = (xy)^{27}$.

Так как $x \le 0$ и $y \le 0$, их произведение $xy \ge 0$.

Нечетная степень неотрицательного числа также неотрицательна, поэтому $(xy)^{27} \ge 0$. Выражение под корнем определено.

Теперь упростим выражение, вынося множитель из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в виде произведения полного квадрата и оставшегося множителя:

$\sqrt{x^{27}y^{27}} = \sqrt{(xy)^{27}} = \sqrt{(xy)^{26} \cdot (xy)} = \sqrt{((xy)^{13})^2 \cdot (xy)}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{((xy)^{13})^2 \cdot (xy)} = \sqrt{((xy)^{13})^2} \cdot \sqrt{xy}$.

Используем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:

$\sqrt{((xy)^{13})^2} = |(xy)^{13}|$.

Так как мы уже установили, что $xy \ge 0$, то $(xy)^{13} \ge 0$. Значит, модуль раскрывается со знаком плюс: $|(xy)^{13}| = (xy)^{13}$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{x^{27}y^{27}} = (xy)^{13}\sqrt{xy}$.

Ответ: $(xy)^{13}\sqrt{xy}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $a^3 \sqrt{-a^7};$

2) $mn^4 \sqrt{mn},$ если $m \leq 0.$

1) Чтобы внести множитель $a^3$ под знак корня в выражении $a^3\sqrt{-a^7}$, необходимо определить область допустимых значений переменной $a$ и знак множителя $a^3$.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$-a^7 \ge 0$
Умножив обе части на $-1$, получаем:
$a^7 \le 0$
Это неравенство справедливо только при $a \le 0$.
Теперь определим знак множителя $a^3$. Так как $a \le 0$, его нечетная степень $a^3$ также будет неположительной ($a^3 \le 0$).
При внесении под знак квадратного корня неположительного множителя, перед корнем ставится знак «минус», а сам множитель под корнем возводится в квадрат.
$a^3\sqrt{-a^7} = -\sqrt{(a^3)^2 \cdot (-a^7)} = -\sqrt{a^6 \cdot (-a^7)} = -\sqrt{-a^{6+7}} = -\sqrt{-a^{13}}$.
Ответ: $-\sqrt{-a^{13}}$

2) Чтобы внести множитель $mn^4$ под знак корня в выражении $mn^4\sqrt{mn}$ при условии $m \le 0$, определим знак этого множителя.
Подкоренное выражение $mn$ должно быть неотрицательным ($mn \ge 0$). Так как по условию $m \le 0$, это означает, что $n$ также должно быть неположительным ($n \le 0$). Если $m = 0$, то выражение равно 0 для любого $n$.
Рассмотрим знак множителя $mn^4$. Нам дано, что $m \le 0$. Множитель $n^4$ всегда неотрицателен ($n^4 \ge 0$), так как это четная степень. Произведение неположительного числа ($m$) и неотрицательного ($n^4$) есть число неположительное: $mn^4 \le 0$.
Так как множитель $mn^4$ неположительный, при его внесении под знак квадратного корня, перед корнем ставится знак «минус».
$mn^4\sqrt{mn} = -\sqrt{(mn^4)^2 \cdot (mn)} = -\sqrt{m^2(n^4)^2 \cdot mn} = -\sqrt{m^2n^8mn} = -\sqrt{m^{2+1}n^{8+1}} = -\sqrt{m^3n^9}$.
Ответ: $-\sqrt{m^3n^9}$

5. Найдите значение выражения

$(\sqrt{40} + \sqrt{72} - 2\sqrt{18}) \cdot \sqrt{3} - \sqrt{120}$.

Для нахождения значения выражения $(\sqrt{40} + \sqrt{72} - 2\sqrt{18}) \cdot \sqrt{3} - \sqrt{120}$ выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим подкоренные выражения на множители и вынесем их из-под знака корня:

• $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• $2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в скобки и выполним действия:

$(\sqrt{40} + \sqrt{72} - 2\sqrt{18}) = (2\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2})$

Слагаемые $6\sqrt{2}$ и $-6\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются:

$2\sqrt{10} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{10}$

3. Теперь умножим результат на $\sqrt{3}$:

$2\sqrt{10} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{10 \cdot 3} = 2\sqrt{30}$

4. Исходное выражение теперь имеет вид:

$2\sqrt{30} - \sqrt{120}$

5. Упростим $\sqrt{120}$:

$\sqrt{120} = \sqrt{4 \cdot 30} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{30} = 2\sqrt{30}$

6. Выполним последнее действие — вычитание:

$2\sqrt{30} - 2\sqrt{30} = 0$

Ответ: 0

6. Сократите дробь:

1) $ \frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} $;

2) $ \frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}}$, представим число $29$ в числителе как $(\sqrt{29})^2$. Затем вынесем общий множитель $\sqrt{29}$ за скобки.

$\frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} = \frac{(\sqrt{29})^2 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} + 1)}{3\sqrt{29}}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $\sqrt{29}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\sqrt{29}}(\sqrt{29} + 1)}{3\cancel{\sqrt{29}}} = \frac{\sqrt{29} + 1}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{29} + 1}{3}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7}$. Для ее сокращения разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $b-7$ можно разложить как разность квадратов, представив $b = (\sqrt{b})^2$ и $7 = (\sqrt{7})^2$ (при условии $b \ge 0$):

$b - 7 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{7})(\sqrt{b} + \sqrt{7})$

Знаменатель $b + 2\sqrt{7b} + 7$ является полным квадратом суммы. Это можно увидеть, представив его в виде $(\sqrt{b})^2 + 2\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2$:

$b + 2\sqrt{7b} + 7 = (\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{b}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{b} + \sqrt{7})^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{7})(\sqrt{b} + \sqrt{7})}{(\sqrt{b} + \sqrt{7})^2}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{b} + \sqrt{7})$:

$\frac{(\sqrt{b} - \sqrt{7})\cancel{(\sqrt{b} + \sqrt{7})}}{(\sqrt{b} + \sqrt{7})^{\cancel{2}}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{7}}{\sqrt{b} + \sqrt{7}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{7}}{\sqrt{b} + \sqrt{7}}$

7. Найдите значение выражения:

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{3+\sqrt{7}}$

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Сопряженным для выражения $a+b$ является $a-b$, и их произведение равно $a^2-b^2$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} - 1 $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $

Второе слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} - \sqrt{3} $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $

Третье слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{7} - \sqrt{5} $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $

Четвертое слагаемое:
$ \frac{1}{3 + \sqrt{7}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ 3 - \sqrt{7} $:
$ \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

Теперь сложим все полученные выражения. Так как у всех дробей одинаковый знаменатель, равный 2, мы можем сложить их числители:

$ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{7})}{2} $

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем подобные слагаемые. Заметим, что многие слагаемые взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической):

$ \frac{\cancel{\sqrt{3}} - 1 + \cancel{\sqrt{5}} - \cancel{\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{7}} - \cancel{\sqrt{5}} + 3 - \cancel{\sqrt{7}}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Ответ: 1