Номер 4, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $a^3 \sqrt{-a^7};$

2) $mn^4 \sqrt{mn},$ если $m \leq 0.$

1) Чтобы внести множитель $a^3$ под знак корня в выражении $a^3\sqrt{-a^7}$, необходимо определить область допустимых значений переменной $a$ и знак множителя $a^3$.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$-a^7 \ge 0$
Умножив обе части на $-1$, получаем:
$a^7 \le 0$
Это неравенство справедливо только при $a \le 0$.
Теперь определим знак множителя $a^3$. Так как $a \le 0$, его нечетная степень $a^3$ также будет неположительной ($a^3 \le 0$).
При внесении под знак квадратного корня неположительного множителя, перед корнем ставится знак «минус», а сам множитель под корнем возводится в квадрат.
$a^3\sqrt{-a^7} = -\sqrt{(a^3)^2 \cdot (-a^7)} = -\sqrt{a^6 \cdot (-a^7)} = -\sqrt{-a^{6+7}} = -\sqrt{-a^{13}}$.
Ответ: $-\sqrt{-a^{13}}$

2) Чтобы внести множитель $mn^4$ под знак корня в выражении $mn^4\sqrt{mn}$ при условии $m \le 0$, определим знак этого множителя.
Подкоренное выражение $mn$ должно быть неотрицательным ($mn \ge 0$). Так как по условию $m \le 0$, это означает, что $n$ также должно быть неположительным ($n \le 0$). Если $m = 0$, то выражение равно 0 для любого $n$.
Рассмотрим знак множителя $mn^4$. Нам дано, что $m \le 0$. Множитель $n^4$ всегда неотрицателен ($n^4 \ge 0$), так как это четная степень. Произведение неположительного числа ($m$) и неотрицательного ($n^4$) есть число неположительное: $mn^4 \le 0$.
Так как множитель $mn^4$ неположительный, при его внесении под знак квадратного корня, перед корнем ставится знак «минус».
$mn^4\sqrt{mn} = -\sqrt{(mn^4)^2 \cdot (mn)} = -\sqrt{m^2(n^4)^2 \cdot mn} = -\sqrt{m^2n^8mn} = -\sqrt{m^{2+1}n^{8+1}} = -\sqrt{m^3n^9}$.
Ответ: $-\sqrt{m^3n^9}$