Номер 3, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-a^{31}};$

2) $\sqrt{16xy^{22}},$ если $y < 0;$

3) $\sqrt{x^{27}y^{27}},$ если $x \le 0, y \le 0.$

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{-a^{31}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{31} \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $a^{31} \le 0$.

Так как 31 — нечетная степень, это неравенство выполняется только при $a \le 0$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение, чтобы выделить множитель, являющийся полным квадратом:

$\sqrt{-a^{31}} = \sqrt{-a \cdot a^{30}} = \sqrt{(-a) \cdot (a^{15})^2}$.

Так как $a \le 0$, то $-a \ge 0$. Выражение $(a^{15})^2$ также неотрицательно. Мы можем применить свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$).

$\sqrt{(-a) \cdot (a^{15})^2} = \sqrt{(a^{15})^2} \cdot \sqrt{-a}$.

Используем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$:

$\sqrt{(a^{15})^2} = |a^{15}|$.

Поскольку $a \le 0$, то его нечетная степень $a^{15}$ также будет меньше или равна нулю ($a^{15} \le 0$). Следовательно, модуль этого выражения равен ему с противоположным знаком: $|a^{15}| = -a^{15}$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{-a^{31}} = -a^{15}\sqrt{-a}$.

Ответ: $-a^{15}\sqrt{-a}$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{16xy^{22}}$ при условии $y < 0$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $16xy^{22} \ge 0$.

Так как $16 > 0$ и $y^{22} = (y^{11})^2 \ge 0$ для любого $y$ (при $y<0$, $y^{22}>0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители и вынесем те, из которых можно извлечь корень:

$\sqrt{16xy^{22}} = \sqrt{16 \cdot y^{22} \cdot x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y^{22}} \cdot \sqrt{x}$.

Вычислим корни из известных множителей:

$\sqrt{16} = 4$.

$\sqrt{y^{22}} = \sqrt{(y^{11})^2} = |y^{11}|$.

По условию $y < 0$. Так как 11 — нечетное число, то $y^{11}$ также будет отрицательным ($y^{11} < 0$).

Следовательно, модуль этого выражения раскрывается со знаком минус: $|y^{11}| = -y^{11}$.

Подставляем полученные значения обратно в выражение:

$\sqrt{16xy^{22}} = 4 \cdot (-y^{11}) \cdot \sqrt{x} = -4y^{11}\sqrt{x}$.

Ответ: $-4y^{11}\sqrt{x}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{27}y^{27}}$ при условиях $x \le 0$ и $y \le 0$.

Сначала проверим, что подкоренное выражение неотрицательно. Используем свойство степеней: $x^{27}y^{27} = (xy)^{27}$.

Так как $x \le 0$ и $y \le 0$, их произведение $xy \ge 0$.

Нечетная степень неотрицательного числа также неотрицательна, поэтому $(xy)^{27} \ge 0$. Выражение под корнем определено.

Теперь упростим выражение, вынося множитель из-под знака корня. Представим подкоренное выражение в виде произведения полного квадрата и оставшегося множителя:

$\sqrt{x^{27}y^{27}} = \sqrt{(xy)^{27}} = \sqrt{(xy)^{26} \cdot (xy)} = \sqrt{((xy)^{13})^2 \cdot (xy)}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$\sqrt{((xy)^{13})^2 \cdot (xy)} = \sqrt{((xy)^{13})^2} \cdot \sqrt{xy}$.

Используем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$:

$\sqrt{((xy)^{13})^2} = |(xy)^{13}|$.

Так как мы уже установили, что $xy \ge 0$, то $(xy)^{13} \ge 0$. Значит, модуль раскрывается со знаком плюс: $|(xy)^{13}| = (xy)^{13}$.

Собираем все вместе:

$\sqrt{x^{27}y^{27}} = (xy)^{13}\sqrt{xy}$.

Ответ: $(xy)^{13}\sqrt{xy}$.