Номер 6, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Сократите дробь:

1) $ \frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} $;

2) $ \frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}}$, представим число $29$ в числителе как $(\sqrt{29})^2$. Затем вынесем общий множитель $\sqrt{29}$ за скобки.

$\frac{29 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} = \frac{(\sqrt{29})^2 + \sqrt{29}}{3\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} + 1)}{3\sqrt{29}}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $\sqrt{29}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{\sqrt{29}}(\sqrt{29} + 1)}{3\cancel{\sqrt{29}}} = \frac{\sqrt{29} + 1}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{29} + 1}{3}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7}$. Для ее сокращения разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $b-7$ можно разложить как разность квадратов, представив $b = (\sqrt{b})^2$ и $7 = (\sqrt{7})^2$ (при условии $b \ge 0$):

$b - 7 = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{7})(\sqrt{b} + \sqrt{7})$

Знаменатель $b + 2\sqrt{7b} + 7$ является полным квадратом суммы. Это можно увидеть, представив его в виде $(\sqrt{b})^2 + 2\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2$:

$b + 2\sqrt{7b} + 7 = (\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{b}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{b} + \sqrt{7})^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{b - 7}{b + 2\sqrt{7b} + 7} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{7})(\sqrt{b} + \sqrt{7})}{(\sqrt{b} + \sqrt{7})^2}$

Сократим общий множитель $(\sqrt{b} + \sqrt{7})$:

$\frac{(\sqrt{b} - \sqrt{7})\cancel{(\sqrt{b} + \sqrt{7})}}{(\sqrt{b} + \sqrt{7})^{\cancel{2}}} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{7}}{\sqrt{b} + \sqrt{7}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{7}}{\sqrt{b} + \sqrt{7}}$