Номер 7, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Найдите значение выражения:

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{3+\sqrt{7}}$

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Сопряженным для выражения $a+b$ является $a-b$, и их произведение равно $a^2-b^2$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} - 1 $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $

Второе слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} - \sqrt{3} $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $

Третье слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{7} - \sqrt{5} $:
$ \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $

Четвертое слагаемое:
$ \frac{1}{3 + \sqrt{7}} $
Умножим числитель и знаменатель на $ 3 - \sqrt{7} $:
$ \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

Теперь сложим все полученные выражения. Так как у всех дробей одинаковый знаменатель, равный 2, мы можем сложить их числители:

$ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{7}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{7})}{2} $

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем подобные слагаемые. Заметим, что многие слагаемые взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической):

$ \frac{\cancel{\sqrt{3}} - 1 + \cancel{\sqrt{5}} - \cancel{\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{7}} - \cancel{\sqrt{5}} + 3 - \cancel{\sqrt{7}}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Ответ: 1