Номер 2, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Координата точки A, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{23}$

2) $\sqrt{27}$

3) $\sqrt{33}$

4) $\sqrt{38}$

Согласно рисунку, точка A расположена на числовой оси между числами 5 и 6. Это означает, что её координата $x_A$ удовлетворяет двойному неравенству: $5 < x_A < 6$.

Чтобы определить, какой из вариантов ответа подходит, удобно сравнить не сами иррациональные числа, а их квадраты. Возведём в квадрат левую и правую части неравенства:

$5^2 < x_A^2 < 6^2$

$25 < x_A^2 < 36$

Таким образом, квадрат искомого числа должен находиться в интервале от 25 до 36.

Теперь проверим, квадрат какого из предложенных чисел попадает в этот интервал:

• 1) $\sqrt{23}$: $(\sqrt{23})^2 = 23$. Число 23 не входит в интервал $(25, 36)$, так как $23 < 25$. Следовательно, $\sqrt{23} < 5$. Этот вариант не подходит.
• 2) $\sqrt{27}$: $(\sqrt{27})^2 = 27$. Число 27 входит в интервал $(25, 36)$. Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$. Этот вариант может быть верным.
• 3) $\sqrt{33}$: $(\sqrt{33})^2 = 33$. Число 33 входит в интервал $(25, 36)$. Следовательно, $5 < \sqrt{33} < 6$. Этот вариант также может быть верным.
• 4) $\sqrt{38}$: $(\sqrt{38})^2 = 38$. Число 38 не входит в интервал $(25, 36)$, так как $38 > 36$. Следовательно, $\sqrt{38} > 6$. Этот вариант не подходит.

Итак, нам нужно выбрать между $\sqrt{27}$ и $\sqrt{33}$. Из рисунка видно, что точка A расположена правее середины отрезка $[5, 6]$. Серединой этого отрезка является точка с координатой 5,5.

Сравним оставшиеся варианты с числом 5,5. Для этого возведём 5,5 в квадрат:

$5.5^2 = 30.25$

Теперь сравним квадраты наших чисел с $30.25$:

• $(\sqrt{27})^2 = 27$. Так как $27 < 30.25$, то $\sqrt{27} < 5.5$. Это число находится в первой половине отрезка $[5, 6]$.
• $(\sqrt{33})^2 = 33$. Так как $33 > 30.25$, то $\sqrt{33} > 5.5$. Это число находится во второй половине отрезка $[5, 6]$.

Поскольку точка A находится ближе к 6 (то есть правее 5,5), ее координата равна $\sqrt{33}$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3