Номер 3, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Сравните:

1) $ \sqrt{3,4} $ и $ \sqrt{3,5} $;

2) $ \sqrt{65} $ и $ 8 $;

3) $ 5\sqrt{3} $ и $ 4\sqrt{5} $.

1) Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,5}$, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента (подкоренного выражения) соответствует большее значение функции (корня).

Сравним подкоренные выражения: $3,4$ и $3,5$.

Так как $3,4 < 3,5$, то из этого следует, что $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,5}$.

Ответ: $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,5}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{65}$ и $8$, представим число $8$ в виде квадратного корня. Для этого возведем $8$ в квадрат и запишем результат под знак корня:

$8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{65}$ и $\sqrt{64}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $65 > 64$.

Следовательно, $\sqrt{65} > \sqrt{64}$, а значит $\sqrt{65} > 8$.

Ответ: $\sqrt{65} > 8$.

3) Чтобы сравнить выражения $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители перед корнями под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Для первого выражения:

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Для второго выражения:

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$

Теперь сравним полученные значения: $\sqrt{75}$ и $\sqrt{80}$.

Так как $75 < 80$, то $\sqrt{75} < \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.