Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении аргумента значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 9?

1) -3

2) 3

3) -81

4) 81

По условию задачи требуется найти значение аргумента $x$ для функции $y = \sqrt{x}$ так, чтобы значение функции было равно 9.

Для этого составим уравнение, приравняв функцию к заданному значению:
$ \sqrt{x} = 9 $

Чтобы найти $x$, необходимо возвести обе части этого уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{x})^2 = 9^2 $

Выполнив вычисление, получаем значение $x$:
$ x = 81 $

Таким образом, при $x = 81$ значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 9. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 81

2. Координата точки B, изображённой на рисунке, равна одному из приведённых чисел. Укажите это число.

1) $\sqrt{35}$

2) $\sqrt{41}$

3) $\sqrt{45}$

4) $\sqrt{51}$

Из рисунка видно, что точка B находится на координатной оси между числами 6 и 7. Это означает, что её координата — это число, которое больше 6, но меньше 7. Запишем это в виде двойного неравенства: $6 < B < 7$.

Так как все предложенные варианты ответов являются квадратными корнями, для удобства сравнения возведём все части неравенства в квадрат:
$6^2 < B^2 < 7^2$
$36 < B^2 < 49$

Теперь нам нужно найти такое число из предложенных, квадрат которого лежит в интервале от 36 до 49. Проверим каждый вариант.

1) $\sqrt{35}$
Квадрат этого числа равен $(\sqrt{35})^2 = 35$. Так как $35 < 36$, то $\sqrt{35} < 6$. Этот вариант не подходит.

2) $\sqrt{41}$
Квадрат этого числа равен $(\sqrt{41})^2 = 41$. Так как $36 < 41 < 49$, то $6 < \sqrt{41} < 7$. Этот вариант может быть правильным.

3) $\sqrt{45}$
Квадрат этого числа равен $(\sqrt{45})^2 = 45$. Так как $36 < 45 < 49$, то $6 < \sqrt{45} < 7$. Этот вариант также может быть правильным.

4) $\sqrt{51}$
Квадрат этого числа равен $(\sqrt{51})^2 = 51$. Так как $51 > 49$, то $\sqrt{51} > 7$. Этот вариант не подходит.

Мы определили, что координатой точки B могут быть два числа: $\sqrt{41}$ и $\sqrt{45}$. Чтобы сделать окончательный выбор, обратимся снова к рисунку. Точка B расположена ближе к числу 7, чем к числу 6, то есть она находится правее середины отрезка [6, 7].

Середина отрезка [6, 7] имеет координату $6,5$. Найдём квадрат этого числа: $6,5^2 = 42,25$.

Теперь сравним оставшиеся варианты с этим значением:
- Сравним $\sqrt{41}$ и $6,5 = \sqrt{42,25}$. Так как $41 < 42,25$, то $\sqrt{41} < 6,5$.
- Сравним $\sqrt{45}$ и $6,5 = \sqrt{42,25}$. Так как $45 > 42,25$, то $\sqrt{45} > 6,5$.

Поскольку точка B расположена правее середины отрезка, её координата должна быть больше 6,5. Этому условию удовлетворяет число $\sqrt{45}$.

Ответ: 3

3. Сравните:

1) $ \sqrt{3,4} $ и $ \sqrt{3,5} $;

2) $ \sqrt{65} $ и $ 8 $;

3) $ 5\sqrt{3} $ и $ 4\sqrt{5} $.

1) Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, $\sqrt{3,4}$ и $\sqrt{3,5}$, достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что большему значению аргумента (подкоренного выражения) соответствует большее значение функции (корня).

Сравним подкоренные выражения: $3,4$ и $3,5$.

Так как $3,4 < 3,5$, то из этого следует, что $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,5}$.

Ответ: $\sqrt{3,4} < \sqrt{3,5}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{65}$ и $8$, представим число $8$ в виде квадратного корня. Для этого возведем $8$ в квадрат и запишем результат под знак корня:

$8 = \sqrt{8^2} = \sqrt{64}$

Теперь задача сводится к сравнению двух корней: $\sqrt{65}$ и $\sqrt{64}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $65 > 64$.

Следовательно, $\sqrt{65} > \sqrt{64}$, а значит $\sqrt{65} > 8$.

Ответ: $\sqrt{65} > 8$.

3) Чтобы сравнить выражения $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители перед корнями под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Для первого выражения:

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Для второго выражения:

$4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$

Теперь сравним полученные значения: $\sqrt{75}$ и $\sqrt{80}$.

Так как $75 < 80$, то $\sqrt{75} < \sqrt{80}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.

4. При каких значениях $x$ выполняется неравенство:

1) $\sqrt{x} > 13$;

2) $\sqrt{x} \leq 19?$

1) Для того чтобы решить неравенство $\sqrt{x} > 13$, необходимо выполнить два шага. Во-первых, определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x \ge 0$. Во-вторых, решим само неравенство. Так как обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 13) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{x})^2 > 13^2$
$x > 169$
Полученное решение $x > 169$ необходимо сопоставить с ОДЗ ($x \ge 0$). Так как любое число, большее 169, также больше или равно 0, то полученное решение полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x > 169$.

2) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} \le 19$. Аналогично первому пункту, начнем с нахождения области допустимых значений. ОДЗ для данного неравенства: $x \ge 0$. Обе части неравенства ($\sqrt{x}$ и 19) неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le 19^2$
$x \le 361$
Теперь необходимо найти пересечение полученного решения $x \le 361$ с областью допустимых значений $x \ge 0$. Это можно записать в виде системы неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 361 \end{cases}$
Решением этой системы является двойное неравенство $0 \le x \le 361$.
Ответ: $0 \le x \le 361$.

5. Решите графически уравнение $\sqrt{x} = 0.5x$.

Для графического решения уравнения $\sqrt{x} = 0,5x$ необходимо в одной системе координат построить графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 0,5x$. Решениями (корнями) исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, её график — ветвь параболы. Область определения функции $x \ge 0$. Составим таблицу значений для построения:

2. Построим график функции $y = 0,5x$. Это линейная функция, её график — прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

3. Найдём точки пересечения. Построив оба графика на координатной плоскости (или сравнив таблицы значений), мы можем определить координаты их общих точек. Из таблиц видно, что графики имеют две общие точки:

• Точка $(0; 0)$, так как при $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$ и $y = 0,5 \cdot 0 = 0$.
• Точка $(4; 2)$, так как при $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$ и $y = 0,5 \cdot 4 = 2$.

Абсциссы этих точек пересечения и являются решениями уравнения.

Ответ: $0; 4$

6. Упростите выражение $\sqrt{(2\sqrt{19}-9)^2}$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это свойство справедливо для любого действительного числа $a$.

Применим это свойство к заданному выражению: $\sqrt{(2\sqrt{19} - 9)^2} = |2\sqrt{19} - 9|$.

Теперь, чтобы раскрыть модуль, нам необходимо определить знак выражения, стоящего внутри него, то есть $2\sqrt{19} - 9$. Для этого сравним числа $2\sqrt{19}$ и $9$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного положительного числа меньше квадрата другого, то и само первое число меньше второго.

Возведем в квадрат первое число: $(2\sqrt{19})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{19})^2 = 4 \cdot 19 = 76$.

Возведем в квадрат второе число: $9^2 = 81$.

Сравним полученные результаты: $76 < 81$.

Поскольку $(2\sqrt{19})^2 < 9^2$, мы можем заключить, что $2\sqrt{19} < 9$.

Это означает, что разность $2\sqrt{19} - 9$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Применим это правило к нашему случаю: $|2\sqrt{19} - 9| = -(2\sqrt{19} - 9) = -2\sqrt{19} + 9 = 9 - 2\sqrt{19}$.

Ответ: $9 - 2\sqrt{19}$.