Страница 68 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$?

1) 28

2) 56

3) 112

4) 224

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$, воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней.

Основное свойство корня из произведения гласит, что корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0$, $b \ge 0$).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{7^2 \cdot 2^8} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2^8}$

Теперь вычислим каждый корень по отдельности. Для этого используем свойство $\sqrt{x^{2n}} = x^n$ (при $x \ge 0$).

1. Вычислим первый множитель:

$\sqrt{7^2} = 7^{2/2} = 7^1 = 7$

2. Вычислим второй множитель:

$\sqrt{2^8} = 2^{8/2} = 2^4$

Найдем значение $2^4$:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$7 \cdot 16 = 112$

Таким образом, значение выражения $\sqrt{7^2 \cdot 2^8}$ равно 112, что соответствует варианту ответа 3.

Ответ: 112

2. Укажите значение выражения $ \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} $.

1) 6

2) 9

3) 12

4) 18

Для того чтобы найти значение данного выражения, можно пойти двумя путями: сначала упростить каждый корень или сначала объединить всё под один корень. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Упрощение каждого корня

Разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня.

1. Упростим $\sqrt{80}$:
$80 = 16 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

2. Упростим $\sqrt{108}$:
$108 = 36 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

3. Упростим $\sqrt{240}$:
$240 = 16 \cdot 15$, поэтому $\sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3}}{4\sqrt{15}}$

Выполним умножение в числителе. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{5 \cdot 3}}{4\sqrt{15}} = \frac{24\sqrt{15}}{4\sqrt{15}}$

Сократим полученную дробь. Можно сократить и числа (24 и 4), и корни ($\sqrt{15}$):

$\frac{24\sqrt{15}}{4\sqrt{15}} = \frac{24}{4} = 6$

Способ 2: Объединение под один корень

Воспользуемся свойствами корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, чтобы объединить всё выражение под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} = \sqrt{\frac{80 \cdot 108}{240}}$

Теперь упростим (сократим) дробь, стоящую под корнем. Заметим, что 240 делится на 80 ($240 = 3 \cdot 80$):

$\sqrt{\frac{80 \cdot 108}{240}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 108}{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}}$

Выполним деление под корнем:

$\sqrt{36}$

Извлечем корень:

$\sqrt{36} = 6$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Значение выражения равно 6. Это соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 6

3. Вычислите:

1) $-0,3\sqrt{(-0,9)^2}$;

2) $\sqrt{12\frac{6}{13}} \cdot \sqrt{0,45} \cdot \sqrt{8\frac{1}{8}}$;

3) $\frac{\sqrt{4,5}}{\sqrt{128}}$.

1) $-0,3\sqrt{(-0,9)^2}$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль числа $a$.
Применяя это свойство к подкоренному выражению, получаем: $\sqrt{(-0,9)^2} = |-0,9| = 0,9$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение:
$-0,3 \cdot 0,9 = -0,27$.
Ответ: -0,27

2) $\sqrt{12\frac{6}{13}} \cdot \sqrt{0,45} \cdot \sqrt{8\frac{1}{8}}$

Чтобы вычислить произведение корней, воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$. Для этого сначала преобразуем все подкоренные выражения в неправильные дроби.
$12\frac{6}{13} = \frac{12 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{156 + 6}{13} = \frac{162}{13}$
$0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
$8\frac{1}{8} = \frac{8 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{64 + 1}{8} = \frac{65}{8}$
Теперь объединим все под одним знаком корня и выполним умножение, предварительно сокращая дроби:
$\sqrt{\frac{162}{13} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{65}{8}} = \sqrt{\frac{162 \cdot 9 \cdot 65}{13 \cdot 20 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{162 \cdot 9 \cdot (5 \cdot 13)}{13 \cdot (4 \cdot 5) \cdot 8}} = \sqrt{\frac{162 \cdot 9}{4 \cdot 8}}$
Продолжим упрощение подкоренного выражения:
$\sqrt{\frac{(81 \cdot 2) \cdot 9}{32}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 9 \cdot 2}{32}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 9}{16}}$
Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{\sqrt{81 \cdot 9}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6,75$
Ответ: 6,75

3) $\frac{\sqrt{4,5}}{\sqrt{128}}$

Воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{4,5}}{\sqrt{128}} = \sqrt{\frac{4,5}{128}}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 2:
$\sqrt{\frac{4,5 \cdot 2}{128 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{9}{256}}$
Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности:
$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{256}} = \frac{3}{16}$
Ответ: $\frac{3}{16}$

4. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{73^2 - 48^2}$;

2) $\sqrt{245 \cdot 125}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \sqrt{73^2 - 48^2} $, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
Применим эту формулу к подкоренному выражению:
$ 73^2 - 48^2 = (73 - 48)(73 + 48) = 25 \cdot 121 $.
Теперь представим каждый множитель в виде квадрата рационального числа, как того требует условие задачи:
$ 25 = 5^2 $
$ 121 = 11^2 $
Таким образом, подкоренное выражение равно произведению квадратов $ 5^2 \cdot 11^2 $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{11^2} = 5 \cdot 11 = 55 $.
Ответ: 55

2) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{245 \cdot 125} $, представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел. Для этого разложим каждый множитель на простые множители.
Разложим число 245:
$ 245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2 $.
Разложим число 125:
$ 125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 $.
Теперь перемножим полученные разложения:
$ 245 \cdot 125 = (5 \cdot 7^2) \cdot (5 \cdot 5^2) $.
Сгруппируем множители так, чтобы получить квадраты чисел:
$ (5 \cdot 5) \cdot 7^2 \cdot 5^2 = 5^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2 $.
Мы представили подкоренное выражение в виде произведения квадратов. Теперь вычислим значение корня:
$ \sqrt{245 \cdot 125} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{5^2} = 5 \cdot 7 \cdot 5 = 175 $.
Ответ: 175

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a^{10}b^{38}}$, если $a \ge 0, b \le 0$;

2) $-\frac{7a^4b^2}{c^7}\sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}}$, если $b < 0, c > 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{a^{10}b^{38}}$ при условиях $a \ge 0$ и $b \le 0$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Представим подкоренное выражение в виде квадратов:
$\sqrt{a^{10}b^{38}} = \sqrt{(a^5)^2 \cdot (b^{19})^2}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{(a^5)^2 \cdot (b^{19})^2} = \sqrt{(a^5)^2} \cdot \sqrt{(b^{19})^2} = |a^5| \cdot |b^{19}|$
Раскроем модули, учитывая заданные условия:
1. Поскольку $a \ge 0$, то $a^5 \ge 0$. Следовательно, $|a^5| = a^5$.
2. Поскольку $b \le 0$, то $b^{19}$ (нечетная степень отрицательного числа) будет меньше или равно нулю, то есть $b^{19} \le 0$. Следовательно, $|b^{19}| = -b^{19}$.
Подставим полученные значения в выражение:
$|a^5| \cdot |b^{19}| = a^5 \cdot (-b^{19}) = -a^5b^{19}$
Ответ: $-a^5b^{19}$

2) Упростим выражение $-\frac{7a^4b^2}{c^7} \sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}}$ при условиях $b < 0$ и $c > 0$.
Сначала упростим выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}} = \frac{\sqrt{a^{12}c^{42}}}{\sqrt{196b^{14}}}$
Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Числитель: $\sqrt{a^{12}c^{42}} = \sqrt{(a^6)^2 (c^{21})^2} = |a^6| \cdot |c^{21}|$.

• $a^6$ всегда неотрицательно ($a^6 \ge 0$), поэтому $|a^6| = a^6$.
• По условию $c > 0$, значит $c^{21} > 0$, поэтому $|c^{21}| = c^{21}$.

Таким образом, числитель равен $a^6c^{21}$.
Знаменатель: $\sqrt{196b^{14}} = \sqrt{196 \cdot (b^7)^2} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{(b^7)^2} = 14 \cdot |b^7|$.

• По условию $b < 0$, значит $b^7$ (нечетная степень отрицательного числа) будет отрицательным ($b^7 < 0$), поэтому $|b^7| = -b^7$.

Таким образом, знаменатель равен $14 \cdot (-b^7) = -14b^7$.
Итак, выражение под корнем равно: $\frac{a^6c^{21}}{-14b^7}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-\frac{7a^4b^2}{c^7} \cdot \left(\frac{a^6c^{21}}{-14b^7}\right)$
Произведем сокращения и упрощения. Минус на минус дает плюс:
$\frac{7a^4b^2 \cdot a^6c^{21}}{c^7 \cdot 14b^7} = \frac{7}{14} \cdot \frac{a^4a^6 \cdot b^2 \cdot c^{21}}{c^7 \cdot b^7}$
Сокращаем числовой коэффициент: $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Упрощаем степени переменных:
$a^{4+6} = a^{10}$
$\frac{b^2}{b^7} = b^{2-7} = b^{-5} = \frac{1}{b^5}$
$\frac{c^{21}}{c^7} = c^{21-7} = c^{14}$
Собираем все вместе:
$\frac{1}{2} \cdot a^{10} \cdot \frac{1}{b^5} \cdot c^{14} = \frac{a^{10}c^{14}}{2b^5}$
Ответ: $\frac{a^{10}c^{14}}{2b^5}$

6. Постройте график функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$.

Для построения графика функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$ сначала упростим ее выражение. Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$, мы можем переписать $\sqrt{x^2}$ как модуль $x$, то есть $|x|$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна следующей функции:$y = 6 - 4|x|$.

Это функция с модулем, график которой состоит из двух лучей, сходящихся в одной точке (вершине). Чтобы точно построить график, раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Уравнение функции на этом промежутке принимает вид $y = 6 - 4x$. Это линейная функция, график которой — прямая с угловым коэффициентом -4 и пересечением с осью Oy в точке (0, 6).

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Уравнение функции на этом промежутке принимает вид $y = 6 - 4(-x) = 6 + 4x$. Это также линейная функция, график которой — прямая с угловым коэффициентом 4.

Итак, мы имеем дело с кусочно-заданной функцией:$y = \begin{cases} 6 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ 6 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика найдем несколько ключевых точек.

• Вершина графика. Точка "излома" графика находится там, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x=0$. Вычислим соответствующее значение $y$: $y = 6 - 4|0| = 6$. Следовательно, вершина графика — точка $(0, 6)$. Это также точка пересечения с осью Oy.
• Точки пересечения с осью Ox. Найдем значения $x$, при которых $y=0$:
  $0 = 6 - 4|x|$
  $4|x| = 6$
  $|x| = \frac{6}{4} = 1.5$
  Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1.5$. Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $(1.5, 0)$ и $(-1.5, 0)$.

Теперь мы можем построить график. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0, 6)$ и точки пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$ и $(-1.5, 0)$. Соединяем вершину с каждой из этих точек и продлеваем линии, получая два луча. График симметричен относительно оси ординат (Oy), так как функция является четной ($y(-x) = 6 - 4|-x| = 6 - 4|x| = y(x)$).

Ответ: График функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$ представляет собой два луча, которые выходят из общей вершины в точке $(0, 6)$. Один луч задается уравнением $y = 6 - 4x$ при $x \ge 0$ и проходит через точку $(1.5, 0)$. Второй луч задается уравнением $y = 6 + 4x$ при $x < 0$ и проходит через точку $(-1.5, 0)$.