Номер 6, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Постройте график функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$.

Для построения графика функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$ сначала упростим ее выражение. Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$, мы можем переписать $\sqrt{x^2}$ как модуль $x$, то есть $|x|$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна следующей функции:$y = 6 - 4|x|$.

Это функция с модулем, график которой состоит из двух лучей, сходящихся в одной точке (вершине). Чтобы точно построить график, раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Уравнение функции на этом промежутке принимает вид $y = 6 - 4x$. Это линейная функция, график которой — прямая с угловым коэффициентом -4 и пересечением с осью Oy в точке (0, 6).

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Уравнение функции на этом промежутке принимает вид $y = 6 - 4(-x) = 6 + 4x$. Это также линейная функция, график которой — прямая с угловым коэффициентом 4.

Итак, мы имеем дело с кусочно-заданной функцией:$y = \begin{cases} 6 - 4x, & \text{если } x \ge 0 \\ 6 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика найдем несколько ключевых точек.

• Вершина графика. Точка "излома" графика находится там, где выражение под модулем равно нулю, то есть при $x=0$. Вычислим соответствующее значение $y$: $y = 6 - 4|0| = 6$. Следовательно, вершина графика — точка $(0, 6)$. Это также точка пересечения с осью Oy.
• Точки пересечения с осью Ox. Найдем значения $x$, при которых $y=0$:
  $0 = 6 - 4|x|$
  $4|x| = 6$
  $|x| = \frac{6}{4} = 1.5$
  Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1.5$. Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $(1.5, 0)$ и $(-1.5, 0)$.

Теперь мы можем построить график. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0, 6)$ и точки пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$ и $(-1.5, 0)$. Соединяем вершину с каждой из этих точек и продлеваем линии, получая два луча. График симметричен относительно оси ординат (Oy), так как функция является четной ($y(-x) = 6 - 4|-x| = 6 - 4|x| = y(x)$).

Ответ: График функции $y = 6 - 4\sqrt{x^2}$ представляет собой два луча, которые выходят из общей вершины в точке $(0, 6)$. Один луч задается уравнением $y = 6 - 4x$ при $x \ge 0$ и проходит через точку $(1.5, 0)$. Второй луч задается уравнением $y = 6 + 4x$ при $x < 0$ и проходит через точку $(-1.5, 0)$.