Номер 4, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $\frac{3}{7}\sqrt{35}$;

2) $2a\sqrt{\frac{a}{2}}$.

1) Чтобы внести множитель $\frac{3}{7}$ под знак квадратного корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Так как множитель $\frac{3}{7}$ является положительным числом, мы можем это сделать без изменения знака.

$\frac{3}{7}\sqrt{35} = \sqrt{(\frac{3}{7})^2 \cdot 35}$

Возведем дробь $\frac{3}{7}$ в квадрат:

$(\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение и умножим на подкоренное число:

$\sqrt{\frac{9}{49} \cdot 35} = \sqrt{\frac{9 \cdot 35}{49}}$

Сократим дробь под корнем. Числа 35 и 49 имеют общий делитель 7:

$\sqrt{\frac{9 \cdot (5 \cdot 7)}{7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{7}} = \sqrt{\frac{45}{7}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{45}{7}}$

2) Чтобы внести множитель $2a$ под знак квадратного корня, сначала определим область допустимых значений переменной $a$. Выражение под корнем $\frac{a}{2}$ должно быть неотрицательным:

$\frac{a}{2} \ge 0$, что означает $a \ge 0$.

Поскольку $a \ge 0$, множитель $2a$ также является неотрицательным ($2a \ge 0$). Следовательно, мы можем внести его под знак корня, предварительно возведя в квадрат.

$2a\sqrt{\frac{a}{2}} = \sqrt{(2a)^2 \cdot \frac{a}{2}}$

Возведем множитель $2a$ в квадрат:

$(2a)^2 = 4a^2$

Теперь умножим результат на подкоренное выражение:

$\sqrt{4a^2 \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2 \cdot a}{2}} = \sqrt{\frac{4a^3}{2}}$

Сократим выражение под корнем, разделив 4 на 2:

$\sqrt{2a^3}$

Ответ: $\sqrt{2a^3}$