Номер 4, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{73^2 - 48^2}$;

2) $\sqrt{245 \cdot 125}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \sqrt{73^2 - 48^2} $, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.
Применим эту формулу к подкоренному выражению:
$ 73^2 - 48^2 = (73 - 48)(73 + 48) = 25 \cdot 121 $.
Теперь представим каждый множитель в виде квадрата рационального числа, как того требует условие задачи:
$ 25 = 5^2 $
$ 121 = 11^2 $
Таким образом, подкоренное выражение равно произведению квадратов $ 5^2 \cdot 11^2 $.
Теперь вычислим значение исходного выражения:
$ \sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{5^2 \cdot 11^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{11^2} = 5 \cdot 11 = 55 $.
Ответ: 55

2) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{245 \cdot 125} $, представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел. Для этого разложим каждый множитель на простые множители.
Разложим число 245:
$ 245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2 $.
Разложим число 125:
$ 125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5^2 $.
Теперь перемножим полученные разложения:
$ 245 \cdot 125 = (5 \cdot 7^2) \cdot (5 \cdot 5^2) $.
Сгруппируем множители так, чтобы получить квадраты чисел:
$ (5 \cdot 5) \cdot 7^2 \cdot 5^2 = 5^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2 $.
Мы представили подкоренное выражение в виде произведения квадратов. Теперь вычислим значение корня:
$ \sqrt{245 \cdot 125} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 5^2} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{5^2} = 5 \cdot 7 \cdot 5 = 175 $.
Ответ: 175