Номер 5, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a^{10}b^{38}}$, если $a \ge 0, b \le 0$;

2) $-\frac{7a^4b^2}{c^7}\sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}}$, если $b < 0, c > 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{a^{10}b^{38}}$ при условиях $a \ge 0$ и $b \le 0$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
Представим подкоренное выражение в виде квадратов:
$\sqrt{a^{10}b^{38}} = \sqrt{(a^5)^2 \cdot (b^{19})^2}$
Теперь извлечем корень:
$\sqrt{(a^5)^2 \cdot (b^{19})^2} = \sqrt{(a^5)^2} \cdot \sqrt{(b^{19})^2} = |a^5| \cdot |b^{19}|$
Раскроем модули, учитывая заданные условия:
1. Поскольку $a \ge 0$, то $a^5 \ge 0$. Следовательно, $|a^5| = a^5$.
2. Поскольку $b \le 0$, то $b^{19}$ (нечетная степень отрицательного числа) будет меньше или равно нулю, то есть $b^{19} \le 0$. Следовательно, $|b^{19}| = -b^{19}$.
Подставим полученные значения в выражение:
$|a^5| \cdot |b^{19}| = a^5 \cdot (-b^{19}) = -a^5b^{19}$
Ответ: $-a^5b^{19}$

2) Упростим выражение $-\frac{7a^4b^2}{c^7} \sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}}$ при условиях $b < 0$ и $c > 0$.
Сначала упростим выражение под корнем:
$\sqrt{\frac{a^{12}c^{42}}{196b^{14}}} = \frac{\sqrt{a^{12}c^{42}}}{\sqrt{196b^{14}}}$
Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Числитель: $\sqrt{a^{12}c^{42}} = \sqrt{(a^6)^2 (c^{21})^2} = |a^6| \cdot |c^{21}|$.

• $a^6$ всегда неотрицательно ($a^6 \ge 0$), поэтому $|a^6| = a^6$.
• По условию $c > 0$, значит $c^{21} > 0$, поэтому $|c^{21}| = c^{21}$.

Таким образом, числитель равен $a^6c^{21}$.
Знаменатель: $\sqrt{196b^{14}} = \sqrt{196 \cdot (b^7)^2} = \sqrt{196} \cdot \sqrt{(b^7)^2} = 14 \cdot |b^7|$.

• По условию $b < 0$, значит $b^7$ (нечетная степень отрицательного числа) будет отрицательным ($b^7 < 0$), поэтому $|b^7| = -b^7$.

Таким образом, знаменатель равен $14 \cdot (-b^7) = -14b^7$.
Итак, выражение под корнем равно: $\frac{a^6c^{21}}{-14b^7}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-\frac{7a^4b^2}{c^7} \cdot \left(\frac{a^6c^{21}}{-14b^7}\right)$
Произведем сокращения и упрощения. Минус на минус дает плюс:
$\frac{7a^4b^2 \cdot a^6c^{21}}{c^7 \cdot 14b^7} = \frac{7}{14} \cdot \frac{a^4a^6 \cdot b^2 \cdot c^{21}}{c^7 \cdot b^7}$
Сокращаем числовой коэффициент: $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Упрощаем степени переменных:
$a^{4+6} = a^{10}$
$\frac{b^2}{b^7} = b^{2-7} = b^{-5} = \frac{1}{b^5}$
$\frac{c^{21}}{c^7} = c^{21-7} = c^{14}$
Собираем все вместе:
$\frac{1}{2} \cdot a^{10} \cdot \frac{1}{b^5} \cdot c^{14} = \frac{a^{10}c^{14}}{2b^5}$
Ответ: $\frac{a^{10}c^{14}}{2b^5}$