Номер 3, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{m^{17}}$;

2) $\sqrt{-p^9}$;

3) $\sqrt{a^6 c^5}$, если $a < 0$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня в выражении $\sqrt{m^{17}}$, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей имеет максимально возможную четную степень.
Представим степень $m^{17}$ как $m^{16} \cdot m^1$. Выражение $\sqrt{m^{17}}$ имеет смысл при $m^{17} \ge 0$, то есть при $m \ge 0$.
$\sqrt{m^{17}} = \sqrt{m^{16} \cdot m}$
Используя свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$), получаем:
$\sqrt{m^{16}} \cdot \sqrt{m}$
Так как $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$, то $\sqrt{m^{16}} = \sqrt{(m^8)^2} = |m^8|$. Поскольку $m^8$ всегда неотрицательно, $|m^8| = m^8$.
В итоге получаем:
$m^8\sqrt{m}$
Ответ: $m^8\sqrt{m}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{-p^9}$.
Для того чтобы корень имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-p^9 \ge 0$. Умножив обе части неравенства на -1, получаем $p^9 \le 0$, что возможно только при $p \le 0$.
Представим подкоренное выражение $-p^9$ в виде произведения, выделив множитель с четной степенью:
$-p^9 = p^8 \cdot (-p)$
Тогда $\sqrt{-p^9} = \sqrt{p^8 \cdot (-p)}$.
Поскольку $p^8 \ge 0$ и (согласно условию $p \le 0$) $-p \ge 0$, мы можем применить свойство корня из произведения:
$\sqrt{p^8} \cdot \sqrt{-p}$
Вычисляем $\sqrt{p^8} = \sqrt{(p^4)^2} = |p^4|$. Так как $p^4$ всегда неотрицательно, $|p^4| = p^4$.
В результате получаем:
$p^4\sqrt{-p}$
Ответ: $p^4\sqrt{-p}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{a^6 c^5}$ при условии $a < 0$.
Подкоренное выражение $a^6 c^5$ должно быть неотрицательным. Поскольку $a$ возводится в четную степень 6, $a^6$ всегда будет неотрицательным ($a^6 \ge 0$). Так как по условию $a < 0$, то $a^6 > 0$. Для того чтобы произведение $a^6 c^5$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $c^5 \ge 0$, что означает $c \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей с четными степенями:
$\sqrt{a^6 c^5} = \sqrt{a^6 \cdot c^4 \cdot c}$
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{a^6} \cdot \sqrt{c^4} \cdot \sqrt{c}$
Вынесем множители из-под знака корня по отдельности:
$\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$. По условию $a < 0$, следовательно $a^3$ также будет отрицательным ($a^3 < 0$). Поэтому, по определению модуля, $|a^3| = -a^3$.
$\sqrt{c^4} = \sqrt{(c^2)^2} = |c^2|$. Поскольку $c^2$ всегда неотрицательно, $|c^2| = c^2$.
Объединяем полученные результаты:
$(-a^3) \cdot c^2 \cdot \sqrt{c} = -a^3 c^2 \sqrt{c}$
Ответ: $-a^3 c^2 \sqrt{c}$