Номер 2, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите значение выражения $ \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} $.

1) 6

2) 9

3) 12

4) 18

Для того чтобы найти значение данного выражения, можно пойти двумя путями: сначала упростить каждый корень или сначала объединить всё под один корень. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Упрощение каждого корня

Разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы можно было вынести множитель из-под знака корня.

1. Упростим $\sqrt{80}$:
$80 = 16 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

2. Упростим $\sqrt{108}$:
$108 = 36 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

3. Упростим $\sqrt{240}$:
$240 = 16 \cdot 15$, поэтому $\sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3}}{4\sqrt{15}}$

Выполним умножение в числителе. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{5 \cdot 3}}{4\sqrt{15}} = \frac{24\sqrt{15}}{4\sqrt{15}}$

Сократим полученную дробь. Можно сократить и числа (24 и 4), и корни ($\sqrt{15}$):

$\frac{24\sqrt{15}}{4\sqrt{15}} = \frac{24}{4} = 6$

Способ 2: Объединение под один корень

Воспользуемся свойствами корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, чтобы объединить всё выражение под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{108}}{\sqrt{240}} = \sqrt{\frac{80 \cdot 108}{240}}$

Теперь упростим (сократим) дробь, стоящую под корнем. Заметим, что 240 делится на 80 ($240 = 3 \cdot 80$):

$\sqrt{\frac{80 \cdot 108}{240}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 108}{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}}$

Выполним деление под корнем:

$\sqrt{36}$

Извлечем корень:

$\sqrt{36} = 6$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Значение выражения равно 6. Это соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 6