Номер 5, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{x^2 y^{34}}$, если $x \leq 0, y \geq 0$;

2) $-\frac{6m^2 n^3}{p^5} \sqrt{\frac{n^8 p^{30}}{324m^6}}$, если $m > 0, p < 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt{x^2 y^{34}}$, учитывая, что $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Используем свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$) и основное тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{x^2 y^{34}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^{34}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^{17})^2} = |x| \cdot |y^{17}|$.

Теперь раскроем модули, используя данные условия.

Поскольку $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Поскольку $y \ge 0$, то $y^{17} \ge 0$, и, следовательно, $|y^{17}| = y^{17}$.

Подставляем полученные выражения обратно:

$|x| \cdot |y^{17}| = (-x) \cdot y^{17} = -xy^{17}$.

Ответ: $-xy^{17}$.

2) Упростим выражение $-\frac{6m^2n^3}{p^5}\sqrt{\frac{n^8p^{30}}{324m^6}}$, учитывая, что $m > 0$ и $p < 0$.

Сначала упростим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{n^8p^{30}}{324m^6}} = \frac{\sqrt{n^8 p^{30}}}{\sqrt{324 m^6}} = \frac{\sqrt{(n^4)^2} \sqrt{(p^{15})^2}}{\sqrt{18^2} \sqrt{(m^3)^2}} = \frac{|n^4| \cdot |p^{15}|}{18 \cdot |m^3|}$.

Раскроем модули с учетом условий:

$|n^4| = n^4$, так как $n^4$ всегда неотрицательно.

Поскольку $m > 0$, то $m^3 > 0$, и значит $|m^3| = m^3$.

Поскольку $p < 0$, то $p^{15}$ (нечетная степень отрицательного числа) будет отрицательным, то есть $p^{15} < 0$. Значит, $|p^{15}| = -p^{15}$.

Подставляем это в выражение для корня:

$\frac{n^4 \cdot (-p^{15})}{18 \cdot m^3} = -\frac{n^4 p^{15}}{18m^3}$.

Теперь подставим упрощенный корень в исходное выражение:

$-\frac{6m^2n^3}{p^5} \cdot \left(-\frac{n^4 p^{15}}{18m^3}\right)$.

Произведение двух отрицательных выражений положительно:

$\frac{6m^2n^3}{p^5} \cdot \frac{n^4 p^{15}}{18m^3} = \frac{6 m^2 n^{3+4} p^{15}}{18 m^3 p^5} = \frac{6 m^2 n^7 p^{15}}{18 m^3 p^5}$.

Сокращаем числовые коэффициенты и степени переменных:

$\frac{6}{18} \cdot \frac{m^2}{m^3} \cdot n^7 \cdot \frac{p^{15}}{p^5} = \frac{1}{3} \cdot m^{2-3} \cdot n^7 \cdot p^{15-5} = \frac{1}{3} \cdot m^{-1} \cdot n^7 \cdot p^{10} = \frac{n^7 p^{10}}{3m}$.

Ответ: $\frac{n^7 p^{10}}{3m}$.