Страница 67 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}$?

1) 6 2) 18 3) 24 4) 36

Для нахождения значения выражения $\sqrt{2^2 \cdot 3^4}$ можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование свойств корня

Воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{2^2 \cdot 3^4} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^4}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя. Для этого используем свойство $\sqrt{x^{2n}} = x^n$ (для неотрицательных $x$).

$\sqrt{2^2} = 2^{2/2} = 2^1 = 2$

$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$

Осталось перемножить полученные результаты:

$2 \cdot 9 = 18$

Способ 2: Вычисление подкоренного выражения

Сначала вычислим значение выражения, стоящего под знаком корня.

$2^2 = 4$

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Теперь перемножим эти значения:

$2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:

$\sqrt{324} = 18$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Данное значение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 18

2. Укажите значение выражения $\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{405}}{\sqrt{60}}$.

1) 6

2) 9

3) 12

4) 18

Для решения данной задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Объединение под один корень

Воспользуемся свойствами квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, чтобы объединить всё выражение под одним знаком корня:

$\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{405}}{\sqrt{60}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 405}{60}}$

Теперь упростим дробь под корнем. Сократим 12 и 60 на 12:

$\sqrt{\frac{12 \cdot 405}{60}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 405}{5}} = \sqrt{\frac{405}{5}}$

Выполним деление в подкоренном выражении:

$405 \div 5 = 81$

Теперь осталось извлечь корень:

$\sqrt{81} = 9$

Способ 2: Упрощение каждого корня

Сначала упростим каждый корень в выражении, разложив подкоренные числа на множители и вынеся их за знак корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = 9\sqrt{5}$

$\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{2\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{5}}{2\sqrt{15}}$

Сократим множитель 2 в числителе и знаменателе. Затем перемножим корни в числителе:

$\frac{9 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{9\sqrt{3 \cdot 5}}{\sqrt{15}} = \frac{9\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Сократим дробь на $\sqrt{15}$:

$\frac{9\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = 9$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 9

3. Вычислите:

1) $-0,4\sqrt{(-0,6)^2}$;

2) $\sqrt{3\frac{8}{9}} \cdot \sqrt{0,56} \cdot \sqrt{3\frac{29}{32}}$;

3) $\frac{\sqrt{2,5}}{\sqrt{40}}$.

1) $-0,4\sqrt{(-0,6)^2}$

По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(-0,6)^2} = |-0,6| = 0,6$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение и выполним умножение:

$-0,4 \cdot 0,6 = -0,24$

Ответ: $-0,24$.

2) $\sqrt{3\frac{8}{9}} \cdot \sqrt{0,56} \cdot \sqrt{3\frac{29}{32}}$

Для вычисления произведения корней воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$. Сначала преобразуем все числа под корнями в неправильные дроби.

$3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9}$

$0,56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$

$3\frac{29}{32} = \frac{3 \cdot 32 + 29}{32} = \frac{125}{32}$

Теперь перемножим полученные дроби под одним знаком корня:

$\sqrt{\frac{35}{9} \cdot \frac{14}{25} \cdot \frac{125}{32}}$

Выполним сокращение дробей перед умножением:

$\sqrt{\frac{35 \cdot 14 \cdot 125}{9 \cdot 25 \cdot 32}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 14 \cdot (5 \cdot 25)}{9 \cdot 25 \cdot 32}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 14 \cdot 5}{9 \cdot 32}} = \sqrt{\frac{35 \cdot (7 \cdot 2) \cdot 5}{9 \cdot (16 \cdot 2)}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 7 \cdot 5}{9 \cdot 16}}$

Перемножим числа в числителе: $35 \cdot 7 \cdot 5 = (7 \cdot 5) \cdot 7 \cdot 5 = 7^2 \cdot 5^2 = (35)^2$.

$\sqrt{\frac{35^2}{9 \cdot 16}}$

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt{35^2}}{\sqrt{9 \cdot 16}} = \frac{35}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{16}} = \frac{35}{3 \cdot 4} = \frac{35}{12}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{35}{12} = 2\frac{11}{12}$

Ответ: $2\frac{11}{12}$.

3) $\frac{\sqrt{2,5}}{\sqrt{40}}$

Используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{2,5}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\frac{2,5}{40}}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 10:

$\sqrt{\frac{2,5 \cdot 10}{40 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{25}{400}}$

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 25:

$\sqrt{\frac{25 \div 25}{400 \div 25}} = \sqrt{\frac{1}{16}}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Результат также можно представить в виде десятичной дроби: $0,25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{109^2 - 60^2}$;

2) $\sqrt{108 \cdot 75}$.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{109^2 - 60^2}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для подкоренного выражения.

Применим эту формулу:

$109^2 - 60^2 = (109 - 60)(109 + 60) = 49 \cdot 169$.

Теперь представим полученные множители в виде квадратов рациональных чисел:

$49 = 7^2$

$169 = 13^2$

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов: $7^2 \cdot 13^2$.

Теперь вычислим значение корня:

$\sqrt{109^2 - 60^2} = \sqrt{7^2 \cdot 13^2} = \sqrt{(7 \cdot 13)^2} = 7 \cdot 13 = 91$.

Ответ: 91

2) Для нахождения значения выражения $\sqrt{108 \cdot 75}$ разложим каждое число под корнем на множители так, чтобы выделить полные квадраты.

Разложим число 108:

$108 = 36 \cdot 3 = 6^2 \cdot 3$.

Разложим число 75:

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

Подставим эти разложения в подкоренное выражение и сгруппируем множители:

$108 \cdot 75 = (6^2 \cdot 3) \cdot (5^2 \cdot 3) = 6^2 \cdot 5^2 \cdot (3 \cdot 3) = 6^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2$.

Мы представили подкоренное выражение в виде произведения квадратов, как требовалось в условии.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{108 \cdot 75} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(6 \cdot 5 \cdot 3)^2} = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 30 \cdot 3 = 90$.

Ответ: 90

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{x^2 y^{34}}$, если $x \leq 0, y \geq 0$;

2) $-\frac{6m^2 n^3}{p^5} \sqrt{\frac{n^8 p^{30}}{324m^6}}$, если $m > 0, p < 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt{x^2 y^{34}}$, учитывая, что $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Используем свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$) и основное тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{x^2 y^{34}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^{34}} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^{17})^2} = |x| \cdot |y^{17}|$.

Теперь раскроем модули, используя данные условия.

Поскольку $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Поскольку $y \ge 0$, то $y^{17} \ge 0$, и, следовательно, $|y^{17}| = y^{17}$.

Подставляем полученные выражения обратно:

$|x| \cdot |y^{17}| = (-x) \cdot y^{17} = -xy^{17}$.

Ответ: $-xy^{17}$.

2) Упростим выражение $-\frac{6m^2n^3}{p^5}\sqrt{\frac{n^8p^{30}}{324m^6}}$, учитывая, что $m > 0$ и $p < 0$.

Сначала упростим выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{n^8p^{30}}{324m^6}} = \frac{\sqrt{n^8 p^{30}}}{\sqrt{324 m^6}} = \frac{\sqrt{(n^4)^2} \sqrt{(p^{15})^2}}{\sqrt{18^2} \sqrt{(m^3)^2}} = \frac{|n^4| \cdot |p^{15}|}{18 \cdot |m^3|}$.

Раскроем модули с учетом условий:

$|n^4| = n^4$, так как $n^4$ всегда неотрицательно.

Поскольку $m > 0$, то $m^3 > 0$, и значит $|m^3| = m^3$.

Поскольку $p < 0$, то $p^{15}$ (нечетная степень отрицательного числа) будет отрицательным, то есть $p^{15} < 0$. Значит, $|p^{15}| = -p^{15}$.

Подставляем это в выражение для корня:

$\frac{n^4 \cdot (-p^{15})}{18 \cdot m^3} = -\frac{n^4 p^{15}}{18m^3}$.

Теперь подставим упрощенный корень в исходное выражение:

$-\frac{6m^2n^3}{p^5} \cdot \left(-\frac{n^4 p^{15}}{18m^3}\right)$.

Произведение двух отрицательных выражений положительно:

$\frac{6m^2n^3}{p^5} \cdot \frac{n^4 p^{15}}{18m^3} = \frac{6 m^2 n^{3+4} p^{15}}{18 m^3 p^5} = \frac{6 m^2 n^7 p^{15}}{18 m^3 p^5}$.

Сокращаем числовые коэффициенты и степени переменных:

$\frac{6}{18} \cdot \frac{m^2}{m^3} \cdot n^7 \cdot \frac{p^{15}}{p^5} = \frac{1}{3} \cdot m^{2-3} \cdot n^7 \cdot p^{15-5} = \frac{1}{3} \cdot m^{-1} \cdot n^7 \cdot p^{10} = \frac{n^7 p^{10}}{3m}$.

Ответ: $\frac{n^7 p^{10}}{3m}$.

6. Постройте график функции $y = 3\sqrt{x^2+1}$.

Для построения графика функции $y = 3\sqrt{x^2 + 1}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1$), поэтому функция определена для всех действительных чисел $x$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность

Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$y(-x) = 3\sqrt{(-x)^2 + 1} = 3\sqrt{x^2 + 1} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 3\sqrt{0^2 + 1} = 3\sqrt{1} = 3$.
Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.

Пересечение с осью OX (при $y=0$):
$3\sqrt{x^2 + 1} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как $\sqrt{x^2+1} \ge 1$. Следовательно, график не пересекает ось OX.

4. Монотонность и экстремумы

Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:
$y' = (3\sqrt{x^2 + 1})' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$y' = 0 \Rightarrow \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = 0 \Rightarrow x=0$.
Определим знаки производной:
- Если $x < 0$, то $y' < 0$, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
- Если $x > 0$, то $y' > 0$, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
Следовательно, в точке $x=0$ находится точка минимума.
$y_{min} = y(0) = 3$.

5. Асимптоты и вид графика

График функции представляет собой верхнюю ветвь гиперболы. Чтобы убедиться в этом, преобразуем уравнение (учитывая, что $y>0$):
$y = 3\sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow y^2 = 9(x^2 + 1) \Rightarrow y^2 = 9x^2 + 9 \Rightarrow y^2 - 9x^2 = 9$.
Разделив обе части на 9, получим каноническое уравнение гиперболы:
$\frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{1^2} = 1$.
Это гипербола с центром в точке $(0;0)$ и вершинами в $(0; \pm 3)$. Так как в исходной функции $y = 3\sqrt{x^2+1} \ge 3$, мы берем только верхнюю ветвь с вершиной в точке $(0; 3)$.
Асимптоты этой гиперболы находятся из уравнения $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{1} = 0$, откуда $y = \pm 3x$.

6. Таблица значений и построение

Составим таблицу значений для нескольких точек, используя свойство четности функции:

Для построения графика в системе координат необходимо:
1. Построить асимптоты $y=3x$ и $y=-3x$.
2. Отметить вершину графика в точке $(0;3)$.
3. Отметить контрольные точки, например, $(\pm 1; 4.24)$ и $(\pm 2; 6.71)$.
4. Провести через точки плавную кривую, симметричную относительно оси OY, которая приближается к асимптотам при увеличении $|x|$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{x^2 + 1}$ — это верхняя ветвь гиперболы $\frac{y^2}{9} - x^2 = 1$ с вершиной в точке $(0; 3)$ и асимптотами $y=3x$ и $y=-3x$.