Страница 66 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\sqrt{3^4 \cdot 6^2}$?

1) 18

2) 36

3) 54

4) 72

Чтобы найти значение выражения $\sqrt{3^4 \cdot 6^2}$, необходимо использовать свойства степеней и квадратных корней.

Способ 1: Использование свойств корня

Корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя (для неотрицательных чисел). То есть, $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{3^4 \cdot 6^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{6^2}$

Теперь вычислим значение каждого корня отдельно, используя свойство $\sqrt{x^{2n}} = x^n$.

$\sqrt{3^4} = \sqrt{3^{2 \cdot 2}} = 3^2 = 9$

$\sqrt{6^2} = 6$

Теперь перемножим полученные результаты:

$9 \cdot 6 = 54$

Способ 2: Преобразование подкоренного выражения

Сначала вычислим значение выражения под корнем. Для этого представим число 6 как произведение простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

$\sqrt{3^4 \cdot 6^2} = \sqrt{3^4 \cdot (2 \cdot 3)^2}$

Используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки:

$\sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 3^2}$

Сгруппируем степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt{3^{4+2} \cdot 2^2} = \sqrt{3^6 \cdot 2^2}$

Теперь извлечем корень, как в первом способе:

$\sqrt{3^6 \cdot 2^2} = \sqrt{3^6} \cdot \sqrt{2^2} = 3^{6/2} \cdot 2^{2/2} = 3^3 \cdot 2^1 = 27 \cdot 2 = 54$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Среди предложенных вариантов ответа 54 соответствует номеру 3.

Ответ: 54.

2. Укажите значение выражения $ \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

1) 2

2) 3

3) 4

4) 9

Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, воспользуемся свойствами арифметических квадратных корней. Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ ($b \neq 0$) верны следующие равенства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Применим эти свойства, чтобы объединить всё выражение под одним знаком корня:

$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}$

Теперь выполним вычисления подкоренного выражения. Можно сначала сократить дробь:

$\sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9}$

Либо можно сначала выполнить умножение в числителе, а затем деление:

$\sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9}$

В любом случае, в результате вычислений под корнем мы получаем 9. Осталось извлечь квадратный корень:

$\sqrt{9} = 3$

Таким образом, значение выражения равно 3. Этот вариант ответа указан под номером 2.

Ответ: 3

3. Вычислите:

1) $\sqrt{(-8)^2}$;

2) $\sqrt{1\frac{4}{25}} \cdot \sqrt{2\frac{6}{29}}>;$

3) $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}.$

1) По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8$.

Альтернативный способ решения — сначала выполнить действие под корнем: $(-8)^2 = 64$. Затем извлечь корень: $\sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

2) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 4}{25} = \frac{29}{25}$

$2\frac{6}{29} = \frac{2 \cdot 29 + 6}{29} = \frac{58 + 6}{29} = \frac{64}{29}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и подставим полученные дроби:

$\sqrt{1\frac{4}{25}} \cdot \sqrt{2\frac{6}{29}} = \sqrt{\frac{29}{25}} \cdot \sqrt{\frac{64}{29}} = \sqrt{\frac{29}{25} \cdot \frac{64}{29}}$

Сократим дробь под корнем и вычислим значение:

$\sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: 1.6

3) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{147}{3}} = \sqrt{49}$

Извлекаем корень из полученного числа:

$\sqrt{49} = 7$

Ответ: 7

4. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{65^2 - 56^2}$;

2) $\sqrt{50 \cdot 32}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{65^2 - 56^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к подкоренному выражению, где $a=65$ и $b=56$:

$65^2 - 56^2 = (65 - 56)(65 + 56) = 9 \cdot 121$.

Теперь, как требуется в условии, представим каждый множитель в виде квадрата рационального числа:

$9 = 3^2$

$121 = 11^2$

Таким образом, подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов: $3^2 \cdot 11^2$.

Найдем значение исходного выражения:

$\sqrt{65^2 - 56^2} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 11)^2} = 3 \cdot 11 = 33$.

Ответ: $33$.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{50 \cdot 32}$ представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел.

Разложим каждый из множителей ($50$ и $32$) на множители таким образом, чтобы выделить полные квадраты:

$50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$

$32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$

Теперь перемножим эти разложения:

$50 \cdot 32 = (5^2 \cdot 2) \cdot (4^2 \cdot 2) = 5^2 \cdot 4^2 \cdot (2 \cdot 2) = 5^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2$.

Мы представили подкоренное выражение $50 \cdot 32$ в виде произведения квадратов. Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{50 \cdot 32} = \sqrt{5^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(5 \cdot 4 \cdot 2)^2} = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$.

Ответ: $40$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1,96m^{18}}$, если $m \geq 0;$

2) $\sqrt{a^4b^{22}c^{26}}$, если $b \geq 0, c \leq 0.$

1) Упростим выражение $\sqrt{1.96m^{18}}$ при условии, что $m \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{1.96m^{18}} = \sqrt{1.96} \cdot \sqrt{m^{18}}$

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt{1.96} = 1.4$, так как $1.4^2 = 1.96$.

Для второго множителя используем свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$.

$\sqrt{m^{18}} = \sqrt{(m^9)^2} = |m^9|$.

По условию задачи $m \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и любая его натуральная степень неотрицательна. Следовательно, $m^9 \ge 0$.

Для любого неотрицательного числа $x$ его модуль равен самому числу: $|x| = x$. Значит, $|m^9| = m^9$.

Теперь объединим полученные результаты:

$\sqrt{1.96m^{18}} = 1.4 \cdot m^9 = 1.4m^9$.

Ответ: $1.4m^9$.

2) Упростим выражение $\sqrt{a^4b^{22}c^{26}}$ при условии, что $b \ge 0$ и $c \le 0$.

Разложим корень из произведения на произведение корней:

$\sqrt{a^4b^{22}c^{26}} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^{22}} \cdot \sqrt{c^{26}}$

Упростим каждый множитель, используя свойство $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$:

1. $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно (то есть $a^2 \ge 0$) для любого действительного числа $a$, то $|a^2| = a^2$.

2. $\sqrt{b^{22}} = \sqrt{(b^{11})^2} = |b^{11}|$. По условию $b \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и его нечетная степень $b^{11}$ будет неотрицательна ($b^{11} \ge 0$). Следовательно, $|b^{11}| = b^{11}$.

3. $\sqrt{c^{26}} = \sqrt{(c^{13})^2} = |c^{13}|$. По условию $c \le 0$. Если основание степени неположительно, то его нечетная степень $c^{13}$ также будет неположительна ($c^{13} \le 0$). Модуль неположительного числа равен этому числу, умноженному на -1: $|x| = -x$ при $x \le 0$. Следовательно, $|c^{13}| = -c^{13}$.

Перемножим полученные выражения:

$a^2 \cdot b^{11} \cdot (-c^{13}) = -a^2b^{11}c^{13}$.

Ответ: $-a^2b^{11}c^{13}$.

6. Постройте график функции $y = 5 - 3\sqrt{x^2}$, если $x \leq 0$.

Для построения графика функции $y = 5 - 3\sqrt{x^2}$ при условии $x \le 0$, необходимо сначала упростить ее выражение.

Выражение $\sqrt{x^2}$ по определению равно модулю $x$, то есть $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, исходную функцию можно записать в виде $y = 5 - 3|x|$.

В задаче дано условие $x \le 0$. Для всех неположительных значений $x$ модуль раскрывается по правилу $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 5 - 3(-x)$
$y = 5 + 3x$

Итак, нам нужно построить график линейной функции $y = 3x + 5$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Графиком является луч.

Для построения луча достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих ему.

Найдем начальную точку луча, подставив в уравнение предельное значение $x = 0$:
$y = 3 \cdot 0 + 5 = 5$.
Следовательно, начальная точка луча имеет координаты $(0, 5)$.

Найдем еще одну точку, выбрав произвольное значение $x$ из области определения, например, $x = -2$:
$y = 3 \cdot (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(-2, -1)$.

Соединив точку $(0, 5)$ и точку $(-2, -1)$ и продолжив линию влево и вниз, мы получим искомый график. Это луч, выходящий из точки $(0, 5)$ и проходящий через точку $(-2, -1)$.

Ответ: Графиком функции $y = 5 - 3\sqrt{x^2}$ при $x \le 0$ является луч, который является частью прямой $y = 3x + 5$ с началом в точке $(0, 5)$.