Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $m$ верно равенство $\sqrt{m} = 0,6$?

1) 1,2

2) 0,12

3) 3,6

4) 0,36

1. Для того чтобы найти значение m, при котором верно равенство $ \sqrt{m} = 0,6 $, необходимо возвести обе части этого уравнения в квадрат. Это действие позволит нам избавиться от знака квадратного корня.

Исходное уравнение:

$ \sqrt{m} = 0,6 $

Возводим обе части в квадрат:

$ (\sqrt{m})^2 = (0,6)^2 $

В левой части $ (\sqrt{m})^2 $ равно m. В правой части необходимо вычислить квадрат числа 0,6:

$ m = 0,6 \times 0,6 = 0,36 $

Таким образом, искомое значение $ m = 0,36 $.

Среди предложенных вариантов ответа:
1) 1,2
2) 0,12
3) 3,6
4) 0,36
Правильным является вариант 4).

Ответ: 4) 0,36

2. Укажите значение выражения $\$ \frac{(4\sqrt{3})^2}{48} $

1) $\$ \frac{1}{2} $

2) $\$ \frac{1}{4} $

3) $\$ \frac{3}{4} $

4) $\$ 1 $

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо последовательно выполнить вычисления, начиная с числителя дроби.

1. Сначала упростим числитель. Выражение в числителе — это $(4\sqrt{3})^2$. Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Это соответствует свойству степени $(ab)^n = a^n \cdot b^n$.

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2$

2. Теперь вычислим значение каждого из полученных множителей:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

3. Перемножим полученные значения, чтобы найти окончательное значение числителя:

$16 \cdot 3 = 48$

4. Теперь, когда мы знаем значение числителя, подставим его обратно в исходное выражение:

$\frac{(4\sqrt{3})^2}{48} = \frac{48}{48}$

5. Выполним деление числителя на знаменатель:

$\frac{48}{48} = 1$

Таким образом, значение всего выражения равно 1.

Ответ: 1

3. Найдите значение выражения

$\sqrt{5^3 + 19 - 3.5} \cdot \sqrt{3.24} \cdot \sqrt{11\frac{1}{9}}$

Для нахождения значения выражения выполним вычисления по действиям.

Исходное выражение: $ \sqrt{5^3 + 19} - 3,5 \cdot \sqrt{3,24} \cdot \sqrt{11\frac{1}{9}} $

1. Сначала вычислим значение выражения под первым корнем:

$ 5^3 + 19 = 125 + 19 = 144 $

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{144} = 12 $

2. Теперь вычислим значение второго члена выражения, который представляет собой произведение $ 3,5 \cdot \sqrt{3,24} \cdot \sqrt{11\frac{1}{9}} $.

Найдем значение каждого из корней:

$ \sqrt{3,24} = \sqrt{1,8^2} = 1,8 $

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а затем извлечем корень:

$ 11\frac{1}{9} = \frac{11 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{100}{9} $

$ \sqrt{11\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3} $

Теперь перемножим все три множителя:

$ 3,5 \cdot 1,8 \cdot \frac{10}{3} $

Выполним умножение $ 3,5 \cdot 1,8 $:

$ 3,5 \cdot 1,8 = 6,3 $

Теперь умножим результат на $ \frac{10}{3} $:

$ 6,3 \cdot \frac{10}{3} = \frac{6,3 \cdot 10}{3} = \frac{63}{3} = 21 $

3. Наконец, выполним вычитание, подставив найденные значения в исходное выражение:

$ 12 - 21 = -9 $

Ответ: -9

4. Решите уравнение:

1) $(x - 4)^2 = 25;$

2) $(x - 4)^2 = 26;$

3) $(3x - 4)^2 = 6;$

4) $\frac{12}{\sqrt{x + 2}} = 4;$

5) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2;$

6) $(x - 9)\sqrt{x - 12} = 0.$

1)

Дано уравнение $(x - 4)^2 = 25$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{25}$

$|x - 4| = 5$

Это равенство распадается на два случая:

1. $x - 4 = 5$

$x = 5 + 4$

$x_1 = 9$

2. $x - 4 = -5$

$x = -5 + 4$

$x_2 = -1$

Ответ: -1; 9.

2)

Дано уравнение $(x - 4)^2 = 26$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{26}$

$|x - 4| = \sqrt{26}$

Это приводит к двум возможным уравнениям:

1. $x - 4 = \sqrt{26}$

$x_1 = 4 + \sqrt{26}$

2. $x - 4 = -\sqrt{26}$

$x_2 = 4 - \sqrt{26}$

Ответ: $4 \pm \sqrt{26}$.

3)

Дано уравнение $(3x - 4)^2 = 6$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(3x - 4)^2} = \sqrt{6}$

$|3x - 4| = \sqrt{6}$

Рассмотрим два случая:

1. $3x - 4 = \sqrt{6}$

$3x = 4 + \sqrt{6}$

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{3}$

2. $3x - 4 = -\sqrt{6}$

$3x = 4 - \sqrt{6}$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{4 \pm \sqrt{6}}{3}$.

4)

Дано уравнение $\frac{12}{\sqrt{x + 2}} = 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно:

$x + 2 > 0 \implies x > -2$.

Решим уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x+2}$ (это возможно, так как $\sqrt{x+2} \neq 0$):

$12 = 4\sqrt{x + 2}$

Разделим обе части на 4:

$3 = \sqrt{x + 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$3^2 = (\sqrt{x + 2})^2$

$9 = x + 2$

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $7 > -2$. Условие выполняется.

Ответ: 7.

5)

Дано уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Перенесем 1 в правую часть:

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$

$2 + \sqrt{x} = 9$

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{x} = 9 - 2$

$\sqrt{x} = 7$

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Корень $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 \ge 0$).

Ответ: 49.

6)

Дано уравнение $(x - 9)\sqrt{x - 12} = 0$.

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 12 \ge 0 \implies x \ge 12$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x - 9 = 0$

$x = 9$

Проверим этот корень по ОДЗ: $9 \ge 12$. Это неверно, следовательно, $x = 9$ является посторонним корнем.

2. $\sqrt{x - 12} = 0$

Возведем в квадрат обе части:

$x - 12 = 0$

$x = 12$

Проверим этот корень по ОДЗ: $12 \ge 12$. Это верно, следовательно, $x = 12$ является решением.

Ответ: 12.

5. Постройте график функции $y = \sqrt{-x^2 - 6x - 9} + 4$.

Для того чтобы построить график функции $y = \sqrt{-x^2 - 6x - 9} + 4$, необходимо сначала найти ее область определения.

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:

$-x^2 - 6x - 9 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом суммы:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(x + 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае — когда выражение равно нулю:

$(x + 3)^2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Это означает, что область определения данной функции состоит из единственного значения $x = -3$.

Теперь найдем значение функции $y$ при $x = -3$, подставив это значение в исходную формулу:

$y = \sqrt{-(-3)^2 - 6(-3) - 9} + 4$

$y = \sqrt{-9 + 18 - 9} + 4$

$y = \sqrt{0} + 4$

$y = 4$

Таким образом, функция определена только в одной точке, которая имеет координаты $(-3, 4)$. Следовательно, графиком данной функции является эта единственная точка на координатной плоскости.

Ответ: Графиком функции является точка с координатами $(-3, 4)$.