Номер 4, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите уравнение:

1) $(x - 4)^2 = 25;$

2) $(x - 4)^2 = 26;$

3) $(3x - 4)^2 = 6;$

4) $\frac{12}{\sqrt{x + 2}} = 4;$

5) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2;$

6) $(x - 9)\sqrt{x - 12} = 0.$

1)

Дано уравнение $(x - 4)^2 = 25$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{25}$

$|x - 4| = 5$

Это равенство распадается на два случая:

1. $x - 4 = 5$

$x = 5 + 4$

$x_1 = 9$

2. $x - 4 = -5$

$x = -5 + 4$

$x_2 = -1$

Ответ: -1; 9.

2)

Дано уравнение $(x - 4)^2 = 26$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{26}$

$|x - 4| = \sqrt{26}$

Это приводит к двум возможным уравнениям:

1. $x - 4 = \sqrt{26}$

$x_1 = 4 + \sqrt{26}$

2. $x - 4 = -\sqrt{26}$

$x_2 = 4 - \sqrt{26}$

Ответ: $4 \pm \sqrt{26}$.

3)

Дано уравнение $(3x - 4)^2 = 6$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{(3x - 4)^2} = \sqrt{6}$

$|3x - 4| = \sqrt{6}$

Рассмотрим два случая:

1. $3x - 4 = \sqrt{6}$

$3x = 4 + \sqrt{6}$

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{6}}{3}$

2. $3x - 4 = -\sqrt{6}$

$3x = 4 - \sqrt{6}$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{4 \pm \sqrt{6}}{3}$.

4)

Дано уравнение $\frac{12}{\sqrt{x + 2}} = 4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно:

$x + 2 > 0 \implies x > -2$.

Решим уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x+2}$ (это возможно, так как $\sqrt{x+2} \neq 0$):

$12 = 4\sqrt{x + 2}$

Разделим обе части на 4:

$3 = \sqrt{x + 2}$

Возведем обе части в квадрат:

$3^2 = (\sqrt{x + 2})^2$

$9 = x + 2$

$x = 9 - 2$

$x = 7$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $7 > -2$. Условие выполняется.

Ответ: 7.

5)

Дано уравнение $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$

Перенесем 1 в правую часть:

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$

$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$

$2 + \sqrt{x} = 9$

Перенесем 2 в правую часть:

$\sqrt{x} = 9 - 2$

$\sqrt{x} = 7$

Еще раз возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Корень $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 \ge 0$).

Ответ: 49.

6)

Дано уравнение $(x - 9)\sqrt{x - 12} = 0$.

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 12 \ge 0 \implies x \ge 12$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x - 9 = 0$

$x = 9$

Проверим этот корень по ОДЗ: $9 \ge 12$. Это неверно, следовательно, $x = 9$ является посторонним корнем.

2. $\sqrt{x - 12} = 0$

Возведем в квадрат обе части:

$x - 12 = 0$

$x = 12$

Проверим этот корень по ОДЗ: $12 \ge 12$. Это верно, следовательно, $x = 12$ является решением.

Ответ: 12.