Номер 4, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите уравнение:

1) $(x + 8)^2 = 36;$

2) $(x + 8)^2 = 37;$

3) $(4x + 3)^2 = 5;$

4) $\frac{24}{\sqrt{x - 7}} = 6;$

5) $\sqrt{2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}}} = 3;$

6) $(x - 7)\sqrt{x - 10} = 0.$

1) $(x + 8)^2 = 36$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Это приведет к двум возможным случаям:

$x + 8 = \sqrt{36}$ или $x + 8 = -\sqrt{36}$

$x + 8 = 6$ или $x + 8 = -6$

Теперь решим каждое из этих линейных уравнений:

Для первого случая: $x_1 = 6 - 8 = -2$.

Для второго случая: $x_2 = -6 - 8 = -14$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -14$.

2) $(x + 8)^2 = 37$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 8 = \sqrt{37}$ или $x + 8 = -\sqrt{37}$

Выражаем $x$ для каждого случая:

$x_1 = -8 + \sqrt{37}$

$x_2 = -8 - \sqrt{37}$

Эти два решения можно записать в компактной форме.

Ответ: $x = -8 \pm \sqrt{37}$.

3) $(4x + 3)^2 = 5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$4x + 3 = \sqrt{5}$ или $4x + 3 = -\sqrt{5}$

Решаем каждое уравнение относительно $x$:

1. $4x = -3 + \sqrt{5} \implies x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$

2. $4x = -3 - \sqrt{5} \implies x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$.

4) $\frac{24}{\sqrt{x - 7}} = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, и выражение под корнем должно быть неотрицательным. Объединив эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$x - 7 > 0 \implies x > 7$.

Теперь решаем уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x-7}$:

$24 = 6\sqrt{x - 7}$

Разделим обе части на 6:

$\sqrt{x - 7} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 7 = 16$

$x = 16 + 7 = 23$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $23 > 7$. Да, удовлетворяет.

Ответ: $x = 23$.

5) $\sqrt{2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}}} = 3$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}} = 3^2$

$2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}} = 9$

Вычтем 2 из обеих частей:

$\sqrt{30 + \sqrt{x}} = 7$

Снова возведем обе части в квадрат:

$30 + \sqrt{x} = 7^2$

$30 + \sqrt{x} = 49$

Вычтем 30 из обеих частей:

$\sqrt{x} = 19$

Еще раз возведем в квадрат:

$x = 19^2 = 361$

Корень $x = 361$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 361$.

6) $(x - 7)\sqrt{x - 10} = 0$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 10 \ge 0 \implies x \ge 10$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, и при этом все выражения имеют смысл.

Рассмотрим два случая:

1. $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Этот корень не входит в ОДЗ ($7 < 10$), поэтому он является посторонним.

2. $\sqrt{x - 10} = 0 \implies x - 10 = 0 \implies x = 10$. Этот корень входит в ОДЗ ($10 \ge 10$), поэтому он является решением.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 10$.