Номер 4, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $x^2 - 9x = 0;$

2) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 81} = 0;$

3) $\sqrt{x+1} = -1.$

1) $x^2 - 9x = 0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x = 0$

или

$x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $0$ и $9$. Множество корней уравнения — это $\{0, 9\}$.

Ответ: $\{0, 9\}$

2) $\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 81} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9x = 0 \\ x^2 - 81 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение $x^2 - 9x = 0$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, его корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив условие $x^2 - 81 \neq 0$.

$x^2 \neq 81$

$x \neq \pm\sqrt{81}$

$x \neq 9$ и $x \neq -9$

3. Теперь проверим, удовлетворяют ли корни числителя ($0$ и $9$) области допустимых значений.

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \neq 9$ и $0 \neq -9$. Следовательно, $x=0$ является корнем исходного уравнения.

Корень $x = 9$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=9$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=9$ является посторонним корнем и не входит в решение.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень. Множество корней — это $\{0\}$.

Ответ: $\{0\}$

3) $\sqrt{x+1} = -1$

По определению, арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это означает, что левая часть уравнения, $\sqrt{x+1}$, не может быть отрицательной, то есть $\sqrt{x+1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Правая часть уравнения равна $-1$, то есть является отрицательным числом.

Так как неотрицательное значение не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Множество корней является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$