Номер 2, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{3600}$

2) $\sqrt{0,36}$

3) $\sqrt{36}$

4) $\sqrt{3,6}$

Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. В десятичной записи иррациональные числа представляются в виде бесконечных непериодических дробей. Корень квадратный из положительного числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является квадратом рационального числа (так называемым "полным квадратом"). Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $\sqrt{3600}$
Подкоренное выражение 3600 является полным квадратом, так как $3600 = 60 \times 60 = 60^2$.
Следовательно, $\sqrt{3600} = \sqrt{60^2} = 60$.
Число 60 является целым, а любое целое число является рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{60}{1}$).
Ответ: $\sqrt{3600}$ — рациональное число.

2) $\sqrt{0,36}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,36 = \frac{36}{100}$.
Числитель 36 ($6^2$) и знаменатель 100 ($10^2$) являются полными квадратами.
$\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Число 0,6 является конечной десятичной дробью, следовательно, это рациональное число.
Ответ: $\sqrt{0,36}$ — рациональное число.

3) $\sqrt{36}$
Подкоренное выражение 36 является полным квадратом, так как $36 = 6^2$.
Следовательно, $\sqrt{36} = 6$.
Число 6 является целым и, соответственно, рациональным.
Ответ: $\sqrt{36}$ — рациональное число.

4) $\sqrt{3,6}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $3,6 = \frac{36}{10}$.
Тогда $\sqrt{3,6} = \sqrt{\frac{36}{10}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$.
Число 10 не является полным квадратом какого-либо целого числа (так как $3^2 = 9$, а $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число.
Результатом деления рационального числа (6) на иррациональное число ($\sqrt{10}$) является иррациональное число.
Ответ: $\sqrt{3,6}$ — иррациональное число.

Таким образом, единственным иррациональным числом из предложенных является $\sqrt{3,6}$.