Номер 4, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $(x^2 - 8x)(x^2 + 7x) = 0;$

2) $\sqrt{x^2 - 8x} + \sqrt{x^2 + 7x} = 0;$

3) $\sqrt{x - 8} + \sqrt{x + 7} = 0.$

1) $(x^2 - 8x)(x^2 + 7x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x^2 - 8x = 0$ или $x^2 + 7x = 0$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 8$

Решим второе уравнение:

$x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

$x_3 = 0$ или $x_4 = -7$

Объединяя все найденные корни, получаем множество решений.

Ответ: $\{-7, 0, 8\}$

2) $\sqrt{x^2 - 8x} + \sqrt{x^2 + 7x} = 0$

Арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 8x} = 0 \\ \sqrt{x^2 + 7x} = 0 \end{cases}$

Возведем в квадрат обе части каждого уравнения системы:

$\begin{cases} x^2 - 8x = 0 \\ x^2 + 7x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, как мы нашли в пункте 1, следует, что $x=0$ или $x=8$.

Из второго уравнения следует, что $x=0$ или $x=-7$.

Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Единственным общим корнем является $x=0$.

Ответ: $\{0\}$

3) $\sqrt{x - 8} + \sqrt{x + 7} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, сумма двух квадратных корней равна нулю, только если оба подкоренных выражения одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x - 8} = 0 \\ \sqrt{x + 7} = 0 \end{cases}$

Что эквивалентно:

$\begin{cases} x - 8 = 0 \\ x + 7 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 8$.

Из второго уравнения получаем $x = -7$.

Переменная $x$ не может одновременно быть равна 8 и -7. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$