Страница 63 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неверное утверждение.

1) $112 \in \mathbb{Z}$

2) $\pi \in \mathbb{Q}$

3) $-11\frac{1}{12} \in \mathbb{R}$

4) $2020 \in \mathbb{N}$

Для того чтобы определить неверное утверждение, необходимо последовательно проверить истинность каждого из четырех предложенных вариантов.

1) $112 \in \mathbb{Z}$

Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ включает в себя все натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им отрицательные числа (..., -3, -2, -1) и ноль. Число 112 является натуральным числом, а все натуральные числа входят в множество целых чисел. Следовательно, данное утверждение является верным.

2) $\pi \in \mathbb{Q}$

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ — это множество всех чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Число $\pi$ (пи) является иррациональным числом. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби двух целых чисел. Десятичное представление числа $\pi$ является бесконечным и непериодическим. Таким образом, $\pi$ не принадлежит множеству рациональных чисел. Следовательно, данное утверждение является неверным.

3) $-11\frac{1}{12} \in \mathbb{R}$

Множество действительных (вещественных) чисел $\mathbb{R}$ объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Число $-11\frac{1}{12}$ является смешанным числом. Его можно представить в виде обыкновенной дроби: $-11\frac{1}{12} = -\frac{11 \cdot 12 + 1}{12} = -\frac{133}{12}$. Так как это число можно представить в виде дроби, оно является рациональным. Любое рациональное число также является действительным. Следовательно, данное утверждение является верным.

4) $2020 \in \mathbb{N}$

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это множество чисел, используемых для счета (1, 2, 3, ...). Число 2020 — это положительное целое число, которое используется при счете. Следовательно, 2020 принадлежит множеству натуральных чисел. Данное утверждение является верным.

Проанализировав все утверждения, мы приходим к выводу, что единственным неверным является утверждение под номером 2.

Ответ: 2

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{490}$

2) $\sqrt{4900}$

3) $\sqrt{0,49}$

4) $\sqrt{49}$

Чтобы определить, какое из данных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя. В случае с квадратными корнями, корень из числа будет рациональным, если подкоренное выражение является квадратом рационального числа (полным квадратом).

Рассмотрим каждый вариант:

1) $\sqrt{490}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $490 = 49 \cdot 10 = 7^2 \cdot 10$. Так как 10 не является полным квадратом какого-либо целого числа, то $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Мы можем записать $\sqrt{490} = \sqrt{7^2 \cdot 10} = 7\sqrt{10}$. Произведение рационального числа (7) на иррациональное ($\sqrt{10}$) является иррациональным числом. Следовательно, $\sqrt{490}$ — иррациональное число.

2) $\sqrt{4900}$

Подкоренное выражение $4900$ можно представить как $49 \cdot 100$. Оба множителя являются полными квадратами: $49=7^2$ и $100=10^2$. Тогда $\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{7^2 \cdot 10^2} = \sqrt{(7 \cdot 10)^2} = \sqrt{70^2} = 70$. Число $70$ является целым, а значит и рациональным.

3) $\sqrt{0,49}$

Представим десятичную дробь $0,49$ в виде обыкновенной дроби: $0,49 = \frac{49}{100}$. Тогда корень можно записать как $\sqrt{\frac{49}{100}}$. Используя свойство корня из дроби, получаем: $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$. Число $0,7$ является конечной десятичной дробью, следовательно, оно рациональное.

4) $\sqrt{49}$

Подкоренное выражение $49$ является полным квадратом числа $7$, так как $7^2=49$. Поэтому $\sqrt{49} = 7$. Число $7$ является целым, а значит и рациональным.

Из всех предложенных вариантов только $\sqrt{490}$ является иррациональным числом.

Ответ: 1.

3. Пусть $A$ — множество делителей числа 18, $B$ — множество делителей числа 45.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество $A$ и множество $B$.

2) Найдите пересечение множеств $A$ и $B$.

3) Найдите объединение множеств $A$ и $B$.

4) Запишите все пятиэлементные подмножества множества $A$.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество А и множество В.

Множество A — это множество всех натуральных делителей числа 18. Чтобы найти их, мы ищем все числа, на которые 18 делится без остатка.

Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Таким образом, множество A можно записать как $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Множество B — это множество всех натуральных делителей числа 45. Чтобы найти их, мы ищем все числа, на которые 45 делится без остатка.

Делители 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Таким образом, множество B можно записать как $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Ответ: $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$; $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

2) Найдите пересечение множеств А и В.

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Сравним элементы множеств $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ и $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Общими для обоих множеств являются элементы: 1, 3, 9.

Следовательно, пересечение множеств A и B есть $\{1, 3, 9\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1, 3, 9\}$.

3) Найдите объединение множеств А и В.

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо A, либо B, либо обоим).

Для нахождения объединения мы выписываем все элементы из множества A, а затем добавляем к ним те элементы из множества B, которые еще не были перечислены.

Элементы из A: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Элементы из B, которых нет в A: 5, 15, 45.

Соединяем их и упорядочиваем по возрастанию: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 15, 18, 45.

Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 15, 18, 45\}$.

4) Запишите все пятиэлементные подмножества множества А.

Множество $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ содержит 6 элементов. Пятиэлементное подмножество можно получить, удалив из множества A ровно один элемент. Поскольку в множестве A 6 элементов, существует 6 способов это сделать, а значит, и 6 пятиэлементных подмножеств.

Перечислим их все:

1. Удаляем элемент 1: $\{2, 3, 6, 9, 18\}$
2. Удаляем элемент 2: $\{1, 3, 6, 9, 18\}$
3. Удаляем элемент 3: $\{1, 2, 6, 9, 18\}$
4. Удаляем элемент 6: $\{1, 2, 3, 9, 18\}$
5. Удаляем элемент 9: $\{1, 2, 3, 6, 18\}$
6. Удаляем элемент 18: $\{1, 2, 3, 6, 9\}$

Ответ: $\{2, 3, 6, 9, 18\}$, $\{1, 3, 6, 9, 18\}$, $\{1, 2, 6, 9, 18\}$, $\{1, 2, 3, 9, 18\}$, $\{1, 2, 3, 6, 18\}$, $\{1, 2, 3, 6, 9\}$.

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $(x^2 - 8x)(x^2 + 7x) = 0;$

2) $\sqrt{x^2 - 8x} + \sqrt{x^2 + 7x} = 0;$

3) $\sqrt{x - 8} + \sqrt{x + 7} = 0.$

1) $(x^2 - 8x)(x^2 + 7x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x^2 - 8x = 0$ или $x^2 + 7x = 0$

Решим первое уравнение:

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 8$

Решим второе уравнение:

$x^2 + 7x = 0$

$x(x + 7) = 0$

$x_3 = 0$ или $x_4 = -7$

Объединяя все найденные корни, получаем множество решений.

Ответ: $\{-7, 0, 8\}$

2) $\sqrt{x^2 - 8x} + \sqrt{x^2 + 7x} = 0$

Арифметический квадратный корень является неотрицательной величиной. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 8x} = 0 \\ \sqrt{x^2 + 7x} = 0 \end{cases}$

Возведем в квадрат обе части каждого уравнения системы:

$\begin{cases} x^2 - 8x = 0 \\ x^2 + 7x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, как мы нашли в пункте 1, следует, что $x=0$ или $x=8$.

Из второго уравнения следует, что $x=0$ или $x=-7$.

Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Единственным общим корнем является $x=0$.

Ответ: $\{0\}$

3) $\sqrt{x - 8} + \sqrt{x + 7} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, сумма двух квадратных корней равна нулю, только если оба подкоренных выражения одновременно равны нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x - 8} = 0 \\ \sqrt{x + 7} = 0 \end{cases}$

Что эквивалентно:

$\begin{cases} x - 8 = 0 \\ x + 7 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 8$.

Из второго уравнения получаем $x = -7$.

Переменная $x$ не может одновременно быть равна 8 и -7. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$

5. Сравните числа:

1) $\frac{34}{7}$ и 4,85;

2) $-8,\overline{61}$ и $-8,61$.

1) Для сравнения чисел $\frac{34}{7}$ и $4,85$ представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого выполним деление числителя на знаменатель:

$34 \div 7 = 4,8571...$

Теперь сравним десятичные дроби $4,8571...$ и $4,85$.

Для удобства можно записать второе число как $4,8500...$

Сравниваем числа поразрядно слева направо:

• Целые части равны: $4 = 4$.
• Разряд десятых равен: $8 = 8$.
• Разряд сотых равен: $5 = 5$.
• Разряд тысячных отличается: $7 > 0$.

Поскольку в разряде тысячных у первого числа цифра больше, то и само число больше.

Следовательно, $4,8571... > 4,85$.

Это означает, что $\frac{34}{7} > 4,85$.

Ответ: $\frac{34}{7} > 4,85$.

2) Сравним числа $-8,(61)$ и $-8,61$.

Число $-8,(61)$ — это периодическая дробь, которая записывается как $-8,616161...$

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сначала сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Сравним модули: $|-8,(61)| = 8,(61) = 8,616161...$ и $|-8,61| = 8,61$.

Сравниваем $8,616161...$ и $8,61$ поразрядно:

• Целые части равны: $8 = 8$.
• Разряд десятых равен: $6 = 6$.
• Разряд сотых равен: $1 = 1$.
• В разряде тысячных у первого числа стоит $6$, а у второго $0$ (так как $8,61 = 8,610$).

Поскольку $6 > 0$, то $8,616161... > 8,61$.

Значит, $|-8,(61)| > |-8,61|$.

Так как модуль первого числа больше, само отрицательное число будет меньше.

Следовательно, $-8,(61) < -8,61$.

Ответ: $-8,(61) < -8,61$.