Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $x$ является верным равенство $\sqrt{x} = 0,5$?

1) 0,05

2) 2,5

3) 0,5

4) 0,25

1. Нам дано равенство $\sqrt{x} = 0,5$. Чтобы найти значение $x$, необходимо избавиться от квадратного корня. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (0,5)^2$
Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное выражение, а $0,5$ в квадрате равно $0,5 \times 0,5$.
$x = 0,25$
Таким образом, равенство является верным при значении $x = 0,25$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: 4) 0,25

2. Укажите значение выражения $\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}$.

1) $\frac{1}{3}$

2) $\frac{2}{3}$

3) 2

4) 4

Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{(2\sqrt{6})^2}{36} $, необходимо последовательно выполнить несколько действий.

1. Упрощение числителя

В числителе находится выражение $ (2\sqrt{6})^2 $. Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Это соответствует свойству степени $ (ab)^n = a^n b^n $.

$ (2\sqrt{6})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{6})^2 $

Теперь вычислим значение каждого множителя:

$ 2^2 = 4 $

$ (\sqrt{6})^2 = 6 $

Перемножим полученные результаты:

$ 4 \cdot 6 = 24 $

2. Вычисление значения дроби

После упрощения числителя исходное выражение принимает вид:

$ \frac{24}{36} $

3. Сокращение дроби

Чтобы сократить дробь $ \frac{24}{36} $, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). НОД для 24 и 36 равен 12.

$ \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $

Значение выражения равно $ \frac{2}{3} $. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 2).

Ответ: $ \frac{2}{3} $

3. Найдите значение выражения

$\sqrt{8^2 + 17} - 70 \cdot \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{1 \frac{32}{49}}.$

Чтобы найти значение выражения, выполним вычисления по действиям, упрощая каждую его часть.

Исходное выражение: $ \sqrt{8^2 + 17} - 70 \cdot \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{1\frac{32}{49}} $.

1. Сначала вычислим значение первого члена $ \sqrt{8^2 + 17} $. Для этого выполним действия под корнем:

$ 8^2 + 17 = 64 + 17 = 81 $.

Теперь извлечем квадратный корень:

$ \sqrt{81} = 9 $.

2. Далее упростим произведение $ 70 \cdot \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{1\frac{32}{49}} $. Вычислим значения корней:

$ \sqrt{0,16} = 0,4 $.

Чтобы извлечь корень из смешанной дроби $ 1\frac{32}{49} $, сначала представим ее в виде неправильной дроби:

$ 1\frac{32}{49} = \frac{1 \cdot 49 + 32}{49} = \frac{81}{49} $.

Теперь извлечем корень:

$ \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7} $.

3. Подставим найденные значения в произведение и вычислим его. Для удобства представим десятичную дробь $0,4$ в виде обыкновенной $ \frac{4}{10} $ или $ \frac{2}{5} $:

$ 70 \cdot 0,4 \cdot \frac{9}{7} = 70 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{7} $.

Выполним умножение, сокращая дроби:

$ \frac{70 \cdot 2 \cdot 9}{5 \cdot 7} = \frac{(10 \cdot 7) \cdot 2 \cdot 9}{5 \cdot 7} = \frac{10 \cdot 2 \cdot 9}{5} = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 36 $.

4. Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение и найдем окончательный результат:

$ 9 - 36 = -27 $.

Ответ: -27

4. Решите уравнение:

1) $x^2 = 1,44;$

2) $x^2 = 39;$

3) $x^2 = -100;$

4) $\sqrt{6x - 7} = 0;$

5) $\sqrt{6x - 7} = 0;$

6) $\sqrt{6x - 7} = 5.$

1) $x^2 = 1,44$

Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратное уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, имеет два корня.

$x = \pm\sqrt{1,44}$

Поскольку $1,2 \times 1,2 = 1,44$, то $\sqrt{1,44} = 1,2$.

Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 1,2$ и $x_2 = -1,2$.

Ответ: $\pm 1,2$.

2) $x^2 = 39$

Это квадратное уравнение. Извлекаем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$.

$x = \pm\sqrt{39}$

Число 39 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Ответ оставляем в таком виде.

Ответ: $\pm\sqrt{39}$.

3) $x^2 = -100$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-100$). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет действительных корней.

4) $\sqrt{6x} - 7 = 0$

Это иррациональное уравнение. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой подкоренное выражение неотрицательно.

$6x \ge 0 \implies x \ge 0$

Теперь решим уравнение. Изолируем радикал, перенеся 7 в правую часть:

$\sqrt{6x} = 7$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x})^2 = 7^2$

$6x = 49$

$x = \frac{49}{6}$

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Так как $\frac{49}{6} > 0$, корень подходит.

Ответ: $\frac{49}{6}$.

5) $\sqrt{6x - 7} = 0$

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$6x - 7 \ge 0 \implies 6x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{6}$

Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.

$6x - 7 = 0$

$6x = 7$

$x = \frac{7}{6}$

Найденный корень $x = \frac{7}{6}$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge \frac{7}{6}$).

Ответ: $\frac{7}{6}$.

6) $\sqrt{6x - 7} = 5$

ОДЗ для этого уравнения такое же, как и в предыдущем пункте: $x \ge \frac{7}{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{6x - 7})^2 = 5^2$

$6x - 7 = 25$

Решаем полученное линейное уравнение:

$6x = 25 + 7$

$6x = 32$

$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Нам нужно сравнить $\frac{16}{3}$ и $\frac{7}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{16}{3} = \frac{32}{6}$. Так как $\frac{32}{6} \ge \frac{7}{6}$, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

5. Постройте график функции $y = (\sqrt{x})^2 - 3.$

Для построения графика функции $y = (\sqrt{x})^2 - 3$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Подкоренное выражение в квадратном корне не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$. Это означает, что график функции будет расположен в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).

2. Упростить уравнение функции.
На всей области определения ($x \ge 0$) выполняется равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Следовательно, исходную функцию можно записать в виде $y = x - 3$ при условии $x \ge 0$.

3. Определить тип графика.
Функция $y = x - 3$ является линейной, и ее график — это прямая линия. Однако из-за ограничения $x \ge 0$, мы строим не всю прямую, а только ее часть, которая представляет собой луч.

4. Найти ключевые точки для построения.
Для построения луча нам достаточно двух точек.
- Начальная точка луча. Найдем значение функции при $x = 0$:
$y(0) = 0 - 3 = -3$.
Таким образом, начальная точка луча имеет координаты $(0, -3)$.
- Точка пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Найдем значение $x$, при котором $y = 0$:
$0 = x - 3$
$x = 3$.
Таким образом, график пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(3, 0)$.

5. Построить график.
В системе координат отмечаем точку $(0, -3)$ (это начало луча на оси $Oy$) и точку $(3, 0)$. Через эти две точки проводим луч, который начинается в точке $(0, -3)$ и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{x})^2 - 3$ — это луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.