Страница 53 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Определите, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^2$.

1) $A(8; 16)$
2) $B(-2; -4)$
3) $C(-\frac{1}{3}; \frac{1}{9})$
4) $D(0,7; 4,9)$

Чтобы определить, через какую из данных точек проходит график функции $y = x^2$, необходимо подставить координаты каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

1) A(8; 16)

Подставляем координаты точки А, где $x = 8$ и $y = 16$, в уравнение функции:

$16 = 8^2$

$16 = 64$

Равенство неверное, следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

2) B(–2; –4)

Подставляем координаты точки B, где $x = -2$ и $y = -4$, в уравнение функции:

$-4 = (-2)^2$

$-4 = 4$

Равенство неверное, следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

3) C($-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$)

Подставляем координаты точки C, где $x = -\frac{1}{3}$ и $y = \frac{1}{9}$, в уравнение функции:

$\frac{1}{9} = \left(-\frac{1}{3}\right)^2$

$\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$

Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику функции.

4) D(0,7; 4,9)

Подставляем координаты точки D, где $x = 0,7$ и $y = 4,9$, в уравнение функции:

$4,9 = (0,7)^2$

$4,9 = 0,49$

Равенство неверное, следовательно, точка D не принадлежит графику функции.

Таким образом, единственная точка, которая удовлетворяет уравнению функции $y = x^2$, это точка C.

Ответ: 3) $C(-\frac{1}{3}; \frac{1}{9})$

2. Укажите все значения аргумента, при которых значение функции $y = x^2$ равно 25.

1) 625

2) 5

3) -5 и 5

4) -625 и 625

По условию задачи требуется найти все значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = x^2$ равно 25.

Для этого необходимо решить уравнение, подставив в него заданное значение функции:

$x^2 = 25$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из 25. Уравнение вида $x^2 = a$ (при $a > 0$) всегда имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

В данном случае $a = 25$, поэтому:

$x_1 = \sqrt{25} = 5$

$x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Следовательно, функция принимает значение 25 при двух значениях аргумента: -5 и 5. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) -5 и 5

3. Решите графически уравнение $x^2 = 3 - 2x$.

Чтобы решить уравнение $x^2 = 3 - 2x$ графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = x^2$ и $y = 3 - 2x$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков и будут являться решениями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^2$

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения составим таблицу значений:

при $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$; точка $(-3, 9)$.
при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$; точка $(-2, 4)$.
при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; точка $(-1, 1)$.
при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$; точка $(0, 0)$.
при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$; точка $(1, 1)$.
при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$; точка $(2, 4)$.

2. Построение графика функции $y = 3 - 2x$

Графиком этой функции является прямая. Для её построения достаточно двух точек:

при $x = 0$, $y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$; точка $(0, 3)$.
при $x = 2$, $y = 3 - 2 \cdot 2 = -1$; точка $(2, -1)$.

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, будут являться решением. Визуально определим координаты этих точек. Графики пересекаются в точках с координатами $(1, 1)$ и $(-3, 9)$.

Решениями исходного уравнения являются абсциссы этих точек.

Проверим найденные решения подстановкой в исходное уравнение:
Если $x=1$:
$1^2 = 3 - 2 \cdot 1$
$1 = 3 - 2$
$1 = 1$ (верно).
Если $x=-3$:
$(-3)^2 = 3 - 2 \cdot (-3)$
$9 = 3 + 6$
$9 = 9$ (верно).

Ответ: $x = -3, x = 1$.

4. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < -1 \\ x^2, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-3)$ и $f(1{,}5)$.

2) Постройте график данной функции.

3) Используя построенный график, найдите значение аргумента, при котором: а) $f(x) = -1$; б) $f(x) = 4$.

4) Определите, при каких значениях $a$ прямая $y = a$ будет иметь с графиком функции $f$ ровно две общие точки.

1) Для нахождения значений функции необходимо определить, какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$.

Чтобы найти $f(-3)$, сравним аргумент с $-1$. Так как $-3 < -1$, используем первую формулу $f(x) = x + 2$:
$f(-3) = -3 + 2 = -1$.

Чтобы найти $f(1,5)$, сравним аргумент с $-1$. Так как $1,5 \ge -1$, используем вторую формулу $f(x) = x^2$:
$f(1,5) = (1,5)^2 = 2,25$.

Ответ: $f(-3) = -1$; $f(1,5) = 2,25$.

2) График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график линейной функции $y = x + 2$ на промежутке $x < -1$. Это луч, выходящий из точки с абсциссой $x = -1$. Найдем ординату этой точки: $y = -1 + 2 = 1$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая"). Для построения луча возьмем еще одну точку, например, $x = -3$, тогда $y = -3 + 2 = -1$. Итак, первая часть графика – это луч, проходящий через точку $(-3, -1)$ и заканчивающийся в выколотой точке $(-1, 1)$.

Вторая часть – это график квадратичной функции $y = x^2$ на промежутке $x \ge -1$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значение в граничной точке $x = -1$: $y = (-1)^2 = 1$. Поскольку неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. Эта точка "закрашивает" выколотую точку от первой части графика, делая функцию непрерывной. Другие точки этой части параболы: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

Таким образом, график функции представляет собой луч, идущий из точки $(-1, 1)$ влево и вниз, и часть параболы, начинающуюся в той же точке $(-1, 1)$, проходящую через начало координат и идущую вправо и вверх.

3) Используем аналитическое решение, которое соответствует нахождению точек пересечения графика функции с горизонтальными прямыми.

а) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = -1$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x < -1$, то $x + 2 = -1$, откуда $x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < -1$.
2. Если $x \ge -1$, то $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, $f(x) = -1$ при $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

б) Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 4$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x < -1$, то $x + 2 = 4$, откуда $x = 2$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -1$.
2. Если $x \ge -1$, то $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. Значение $x=2$ удовлетворяет условию $x \ge -1$, а $x=-2$ — нет.
Следовательно, $f(x) = 4$ при $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

4) Прямая $y = a$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек этой прямой с графиком функции $f$ равно количеству корней уравнения $f(x) = a$. Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$, двигая прямую $y = a$ снизу вверх.

– При $a < 0$, прямая $y=a$ пересекает только луч $y=x+2$ в одной точке.
– При $a = 0$, прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает луч в точке $(-2, 0)$ и касается параболы в ее вершине $(0, 0)$. Таким образом, имеем ровно две общие точки.
– При $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает луч $y=x+2$ в одной точке (т.к. $a < 1$) и пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках (при $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$, оба корня удовлетворяют условию $x \ge -1$, так как $0 < \sqrt{a} < 1$). Всего получаем три общие точки.
– При $a = 1$, прямая $y=1$ проходит через точку "стыка" $(-1, 1)$ и пересекает параболу еще раз в точке $(1, 1)$. Таким образом, имеем ровно две общие точки.
– При $a > 1$, прямая $y=a$ не пересекает луч $y=x+2$ (так как все его значения $y < 1$) и пересекает параболу $y=x^2$ в одной точке с абсциссой $x = \sqrt{a}$ (корень $x = -\sqrt{a}$ не подходит, так как $-\sqrt{a} < -1$). Всего получаем одну общую точку.

Таким образом, прямая $y = a$ имеет с графиком функции ровно две общие точки при $a = 0$ и $a = 1$.

Ответ: $a=0$; $a=1$.